从像素走到入选的星系

高红移星系为什么会漏选

遥远星系的光，怎样变成巡天里的一次计数？ 星系越远，星系际吸收留下的光谱缺口越往红端移；剩下的光还要分到有限像素里。一个源可能太弥散，也可能不符合颜色筛选。把入选数变成总体数量时，还要计入匹配的入选概率，以及噪声造成的区间迁移。

把星系移过有限像素，摊开同样的光，再看四个滤光片怎样恢复它。接着读一份独立固定巡天中二十六个入选源的记录。

F150W信号与噪声之比 $15.3$

F115W信号与噪声之比 $-0.732$

F200W信号与噪声之比 $15.7$

F150W留在视场里的光 $100\,\%$

看看像素能留下什么

红移

10.0

z

物理半光半径

0.300

r_{1/2}/\mathrm{kpc}

紫外尘屏消光

0.200

A_{1500}/\mathrm{mag}

拖F150W图里的绿色中心或橙色尺寸手柄。每组示例在拖动时固定自己的已存噪声。

这个源通过了规定的三条筛选。

亮度、谱形与完整测量

本征紫外绝对星等

-19.5

M_{1500}

连续谱斜率

-2

\beta

每幅图每边三十二个像素。各波段共用固定反双曲正弦色标：负噪声为蓝，正通量为暖色；每像素超过三纳扬斯基时显示饱和。细环表示规定的本征半光半径。

$L_\lambda\propto\lambda^\beta,\quad A_\lambda=A_{1500}\left(\frac{\lambda}{0.15\,\mu\mathrm m}\right)^{-0.7}$

$\lambda_{\rm break}=0.1216(1+z)\,\mu\mathrm m$

像素场中心是原点，向右、向上为正。细环把源的本征半光半径按角径距离投影，尚未加入高斯模糊近似。

$\sigma_{\rm pix}=0.15\,\mathrm{nJy},\quad\Delta\theta=0.03\,\mathrm{arcsec}$

估计器预先知道位置与形状，读取的是带噪模拟像素。拖动不会重新抽噪声；重置恢复第一组源和原先保存的抽样。

$x_s=y_s=0\,\mathrm{arcsec}$

波段	输入总通量 / nJy	恢复通量 / nJy
F115W	$6.13\times10^{-5}$	$-0.829\pm1.13$
F150W	$18.7$	$17.8\pm1.16$
F200W	$19.9$	$18.9\pm1.2$
F277W	$20.5$	$20.2\pm1.29$

导出含四幅完整像素、光形、噪声、筛选、单位与源设置。通带取自STScI第七版数值表，高斯衍射近似不是测得的JWST点扩散函数。

STScI NIRCam滤光片文档

Hogg：光度距离与光谱密度

模型假设

这是一个已知源位置与形状的合成实验。采用平直物质加宇宙常数背景，哈勃常数七十公里每秒每百万秒差距、物质份额十分之三，省略辐射，红移范围七点五至十五。AB星等归一化的紫外幂律连续谱经过规定尘屏，再在静止系莱曼阿尔法短侧完全截断。这里没有恒星族、发射线、活动星系核拟合或质量估计。四条STScI NIRCam第七版原生通带给出光子加权通量。圆对称高斯源在三十二乘三十二个有限像素上积分；在六点五米口径下，高斯衍射近似的宽度随波长增加。这不是JWST实测点扩散函数或曝光计算器。落到视场外的光不会重新归一化。每组示例使用自己保存的独立高斯像素噪声，拖动时固定；省略光子噪声、相关噪声、混叠和盲源搜索。线性估计器预先知道真实位置与形状。所有图像使用同一固定强度色标，亮像素可能显示饱和。另一份五平方角分合成巡天采用固定红移区间、尺寸、尘屏和谱形，计数响应与受限的区间中点Schechter族不随单个源的控制变化。半单位似然下降区间只作描述，不保证小样本精确置信覆盖。两者都不是对JADES实际光度函数的测量。

同一个源经过四个通带

F115WF150WF200WF277W

灰线是规定连续谱。空心方块是光子加权通带均值，横坐标取枢轴波长；实点与误差棒来自实际噪声像素。理想期望视图只改变显示图像。

$\mathrm{SNR}_{115}<2$

$\mathrm{SNR}_{150}>5$

$\mathrm{SNR}_{200}>3$

另一份固定的合成巡天

这二十六个入选源采用五平方角分的固定标定。上面移动单个星系时，它的像素和筛选随之改变；下面这份巡天记录使用自己固定的源总体。

$9.5\leq z\leq10.5,\quad r_{1/2}=0.3\,\mathrm{kpc},\quad A_{1500}=0.2\,\mathrm{mag},\quad\beta=-2$

入选计数与拟合预期

蓝柱是保存的入选计数，金线是完整响应作用后的预期。亮、暗分别标出两侧溢出。似然只使用这些检出源。

同一噪声模型下的入选与区间迁移

把未入选与溢出都包括后，每列总概率为一。本征区间宽度不等；测量区间用中点作标签，保存的响应保留精确边界。

这份受限计数拟合能说明什么

$M_*=-20.6,\quad\widehat\alpha=-2.00,\quad\widehat\phi_*=4.43\times10^{-4}\,\mathrm{Mpc}^{-3}$

$\Delta\ln\mathcal L=0.5:\quad -2.304\leq\alpha\leq-1.725$

六个本征区间内密度按常数处理，受限Schechter形状族在区间中点取值，特征星等预先固定。半单位似然下降区间只作描述，不保证小样本精确覆盖。最暗一列很难入选，其密度仍依赖模型族假设。

这是一份原创合成巡天，不是JADES观测光度函数。隐藏总体和未入选计数不进入拟合。真实巡天仍需要自己的灵敏度、覆盖面积与入选体积。

先抓重点

核心问题: 总光量相同的星系，会一样容易入选吗？
一句话直觉: 筛选使用的是从同一份有限噪声像素里恢复的通量。即使总输入光量不变，把像摊大也会让总通量估计更不精确。

核心数学模型

红移怎样改变光谱密度

f_{\nu,o}=\frac{(1+z)L_{\nu,e}}{4\pi D_L^2},\qquad \langle f_\nu\rangle_T=\frac{\int f_\nu T(\lambda)\,d\lambda/\lambda}{\int T(\lambda)\,d\lambda/\lambda}

发射谱密度取与观测频率对应的发射频率。固定紫外归一化、尘屏与星系际断裂，决定每个原生通带里的光子加权通量。

从实际像素估计通量

\widehat F=\frac{\sum_p w_p I_p}{\sum_p w_p^2},\qquad \sigma_F=\frac{\sigma_{\rm pix}}{\sqrt{\sum_p w_p^2}}

权重是已知光形在每个有限像素内的积分，保留视场外损失。公式采用独立、等方差高斯像素噪声，并预先知道真实源位置与形状。

把入选和迁移放进计数模型

\mu_i=\sum_j A_{ij}\phi_j,\qquad \ln\mathcal L=\sum_i\left[N_i\ln\mu_i-\mu_i-\ln(N_i!)\right]

固定响应已经包含每个本征星等区间的宽度与体积。只有入选计数进入泊松似然，亮端与暗端溢出也保留。

常见难点

蓝端很暗，还要看别的波段

容易误解蓝端没检出，就是入选的遥远星系。

正确理解这里还要求F150W与F200W足够显著。尘屏、尺寸和噪声都会影响这些检查。

理想光形只作参考

容易误解平滑图就是把噪声完全消掉后的观测。

正确理解它是给定模型的期望。模拟测量保留实际保存的噪声，估计器使用的是这些像素。

巡天标定有自己的固定条件

容易误解移动单个源，也会重新标定计数矩阵。

正确理解独立巡天采用声明的固定尺寸、尘屏和红移区间。若换成另一种总体，需要另外计算匹配响应。

动手实验

01
先看蓝端消失
比较“蓝端消失了”与“蓝光还在”。
你会看到： 静止系断裂移过原生滤光片，同一组三项筛选会让一个源入选，让另一个源落选。
02
摊开或移动同一份光
拖动F150W图里的橙色尺寸手柄或绿色中心，松手前就观察测量变化。
你会看到： 增大尺寸会把光分散到更多噪声像素，移到边缘还会损失视场外的光。截断后的光形不会重新补到一。
03
看看尘屏示例
选“加一层尘屏”，逐项看三条筛选。
你会看到： 这组实际噪声记录仍然入选。尘屏让光变弱，却不保证每个源都落选。
04
再读固定合成巡天
对照二十六个入选计数、模型预期计数与完整响应。
你会看到： 有些本征区间会漏掉大部分源，有些源会散入相邻测量区间。暗端结果仍强烈依赖受限模型族。

高红移星系为什么会漏选

另一份固定的合成巡天

跟着星系的光走到一次计数

核心数学模型

红移怎样改变光谱密度

从实际像素估计通量

把入选和迁移放进计数模型

常见难点

蓝端很暗，还要看别的波段

理想光形只作参考

巡天标定有自己的固定条件

动手实验

先看蓝端消失

摊开或移动同一份光

看看尘屏示例

再读固定合成巡天

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