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Sandbox Physics
从遥远的光走到星系计数

L2 · 光、图像与筛选

总光量相同，星系摊大后为什么更难测

Sandbox Physics ·

把相同的光摊到更大的像上，总通量测量通常会更不精确。光分给了更多带噪像素，部分还可能落到视场外。先用一个位置、形状都已知的高斯源，把这件事算清楚，再看真实找源流程增加了哪些问题。

先把物理半径换成天空角度

以图像中心为原点，横向向右、纵向向上为正。源中心为(xs,ys)(x_s,y_s)，角坐标用角秒。物理半光半径r1/2r_{1/2}是本征源圈住一半总光的半径，先通过角径距离换成角半径。

圆对称高斯光形有一条平滑的尾部。它的宽度参数与半光半径不同；积分到半光半径时，恰好积到一半的光。

θ1/2=r1/2DA,σsrc=θ1/22ln⁡2\theta_{1/2}=\frac{r_{1/2}}{D_A},\qquad \sigma_{\rm src}=\frac{\theta_{1/2}}{\sqrt{2\ln2}}
第一式先把半径与距离换成相同长度单位，角度由弧度转为角秒。给定宇宙学下，红移十的零点三千秒差距约为零点零七二一角秒。

对应阅读：Hogg (1999) · Sandbox Physics

再让模糊与像素作用到同一个光形

例子把衍射模糊也近似为高斯，每个通带按枢轴波长指定宽度。两个高斯卷积后，方差相加。这里的望远镜近似采用六点五米口径；真实JWST点扩散函数还有更复杂的结构。

FWHMproxy=1.028λpivotD\mathrm{FWHM}_{\rm proxy}=1.028\frac{\lambda_{\rm pivot}}{D}
波长与望远镜口径先用相同长度单位，所得角度为弧度，再换成角秒。系数规定一个衍射尺度；在这里把这个宽度赋给高斯近似。
σ2=σsrc2+σproxy2,σproxy=FWHMproxy22ln⁡2\sigma^2=\sigma_{\rm src}^2+\sigma_{\rm proxy}^2,\qquad \sigma_{\rm proxy}=\frac{\mathrm{FWHM}_{\rm proxy}}{2\sqrt{2\ln2}}
半高全宽与高斯宽度用同一种角单位。这里的宽度同时包含本征尺寸与规定的光学近似。
wij=∫pixel ijexp⁡ ⁣[−(x−xs)2+(y−ys)22σ2]2πσ2 dx dyw_{ij}=\int_{\mathrm{pixel}\,ij}\frac{\exp\!\left[-\frac{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2}{2\sigma^2}\right]}{2\pi\sigma^2}\,dx\,dy
每个权重是这一格像素收到的总光比例。对整格面积积分，才得到像素实际接收的光量。

对应阅读：Sandbox Physics · Photutils

视场边缘的光不会自动补回来

每边三十二个像素、每像素零点零三角秒，组成零点九六角秒见方的视场。高斯尾部可以越过边缘。源移动或摊大后，视场内的权重总和会下降。

这里保留这个总和。若把截断后的光形重新补到总和一，等于改变了输入光怎样落进图像。保留原始比例，才知道已经收到多少、丢在外面多少。

∑ij∈fieldwij≤1\sum_{ij\in\mathrm{field}}w_{ij}\leq1
等号只在视场包含全部光的极限成立。有限高斯视场通常略小于一；数值中极小的尾光可能低于浮点分辨率。

对应阅读：Sandbox Physics · Sandbox Physics

从这些像素求一个总通量

把输入总通量记作FF，像素读数记作IpI_p。编号pp把二维像素排成一列。每格含给定光形分到的信号与独立高斯噪声；噪声平均为零，标准差相同。

先把真实位置与光形告诉估计器，只让它求一个未知总通量。让模型与像素之间的平方差最小：略微改变总通量时，最小点的一阶变化为零。这样得到一个线性的加权估计。

χ2(F)=∑p(Ip−Fwp)2σpix2,dχ2dF=−2σpix2∑pwp(Ip−Fwp)=0\chi^2(F)=\sum_p\frac{(I_p-Fw_p)^2}{\sigma_{\rm pix}^2},\qquad\frac{d\chi^2}{dF}=-\frac{2}{\sigma_{\rm pix}^2}\sum_p w_p(I_p-Fw_p)=0
每项是像素残差除以同一个噪声尺度后的平方。令导数为零，就得到下面的总通量估计。
Ip=Fwp+np,F^=∑pwpIp∑pwp2,σF=σpix∑pwp2I_p=Fw_p+n_p,\qquad \widehat F=\frac{\sum_p w_pI_p}{\sum_p w_p^2},\qquad \sigma_F=\frac{\sigma_{\rm pix}}{\sqrt{\sum_p w_p^2}}
每个像素按已知光形的贡献加权。这里每像素噪声为零点一五纳扬斯基，测得通量与不确定度也用纳扬斯基。
E[F^]=F,Var(F^)=σpix2∑pwp2(∑pwp2)2\mathbb E[\widehat F]=F,\qquad\mathrm{Var}(\widehat F)=\frac{\sigma_{\rm pix}^2\sum_p w_p^2}{(\sum_p w_p^2)^2}
独立噪声没有交叉协方差项，权重平方相加。即使部分光在场外，正确的已知模板仍能给出无偏总量，代价是信息减少、误差增大。

对应阅读：Sandbox Physics · Photutils

比较同总光量的紧凑源和弥散源

把红移固定为十、绝对紫外星等固定为负十九点五，并保留同一尘屏与谱形。F150W输入总通量都是十八点六七纳扬斯基。把物理半光半径从零点三千秒差距增到一点二千秒差距后，更多光落入很浅的外侧像素，也有约十分之一越过视场边缘。

紧凑源的总通量不确定度约为一点一六纳扬斯基，弥散源约为四点三九。两幅含噪图各自使用已保存的一次噪声抽样；实际信噪比分别约十五点三与二点七九。尺寸规律最清楚地体现在不确定度上，而一次测量还会围着真实值起伏。

同一总输入通量下，紧凑与弥散F150W源的理想期望和各自实际带噪像素
两列共享同一输入总通量与固定强度色标。上排是理想期望，下排是各自保存的模拟噪声像素。半光半径分别为零点三与一点二千秒差距；这些是受控高斯源，不是两张真实JWST星系照片。
F150W量紧凑源弥散源
输入总通量（纳扬斯基）18.6718.67
视场内光比例约10.901
总通量不确定度（纳扬斯基）1.164.39
一次实际信噪比15.32.79

对应阅读：Sandbox Physics

为什么更大的像带来更大的误差

把许多像素相加时，独立噪声的方差相加，噪声标准差随像素数的平方根增长。摊大的光形让更多带噪像素参与测量。对很细的方形像素和足够大的视场，可以把权重平方和近似为连续积分。

∑pwp2≃a24πσ2,σF≃σpix4π σa\sum_p w_p^2\simeq\frac{a^2}{4\pi\sigma^2},\qquad\sigma_F\simeq\sigma_{\rm pix}\frac{\sqrt{4\pi}\,\sigma}{a}
像素角边长为aa；它必须远小于光形宽度，视场也应足够大。这一极限中，光形宽度加倍，总通量误差也约加倍。

对应阅读：Sandbox Physics

已知位置的概率与盲搜完整度

在这些假设下，估计总通量仍服从高斯分布。给一个固定的检出阈值，就能把信噪比换成一次已知源试验超过阈值的概率。标准正态累积分布表示标准差为一、均值为零的高斯变量落在某个值以下的概率。

Pr⁡(F^>kσF∣F)=Φ ⁣(FσF−k)\Pr(\widehat F>k\sigma_F\mid F)=\Phi\!\left(\frac{F}{\sigma_F}-k\right)
这里的位置和光形固定，只有噪声抽样改变。输入通量与其误差之比，决定这条单阈值概率曲线。

对应阅读：Sandbox Physics · Photutils

把找位置也放进一次试验

实际找源程序还要从整张图里决定哪里有目标。它会检查许多位置，估计背景，并处理邻近源的重叠。有时某个噪声峰恰好被挑中；有时一团真实但弥散的光被背景估计抹掉。单个已知模板的高斯概率没有包含这些步骤。

要测一套盲搜流程的完整度，可以把给定亮度和形状的合成源放进相应图像。评估者保留植入位置，找源程序事先不知道它。运行完整流程后，再看哪些输入源被找回。这样测到的概率才包含了那套寻找与测量方法。

本例的独立数值检验采用四组几何、各一千零二十四次采集，比对已知模板下的均值、方差与单阈值入选比例。这些统计试验用每像素零点零五纳扬斯基，五组成像例子则用零点一五；线性公式说明误差如何随噪声尺度改变。

理解这一小块解析结果，可以帮助设计更完整的注入试验：固定哪些源性质，改变哪些图像条件，让哪一步真正面对未知位置。下一步讨论总体数量时，入选概率就有了明确的实验含义。

对应阅读：Sandbox Physics · Photutils

亲手观察

保持总光量，改变它在像素里的分布

  1. 固定红移、绝对星等和尘屏，逐渐放大半光半径；先预测总通量与不确定度各怎样变。
  2. 拖中心到视场边缘，比较视场内比例与总通量误差。
  3. 在模拟测量与理想期望之间切换，说明哪一份包含这次噪声；解释这里的已知位置与盲搜有什么不同。

例子逐像素积分已知高斯光形，并用固定独立高斯噪声估计总通量；它适合检查已知源测量。

练习与答案

固定总通量与每像素噪声，在细像素、大视场极限把高斯角宽度加倍，平均信噪比怎样变？

总通量误差近似加倍，平均信噪比近似减半。若本征源已远小于光学模糊尺度，继续减小本征半径也不会让总宽度无限变小。

把截断后的模板除以它在视场里的权重总和，再用它拟合，拟合归一化还是原本的无限视场总通量吗？

新的单位归一化模板对应视场内那部分光。拟合幅度的含义改变了；它不会凭归一化操作找回场外信息。若同时仍把幅度叫输入总通量，就会混淆两个量。

一套程序先知道所有注入位置，再只在这些位置测量。它检查的是哪一类概率？

它检查指定位置附近的恢复与测光。盲搜试验还要让程序自己发现源，并计入背景、邻居、假阳性和匹配规则等步骤。

沿用前章的平坦频率谱、无吸收例子，固定源的物理半径与紫外光度。每单位立体角的频率谱密度怎样随红移变化？

总频率通量含(1+z)/DL2(1+z)/D_L^2，角面积含1/DA21/D_A^2。用距离关系相除得到(1+z)−3(1+z)^{-3}。若把整个频谱积分，面亮度是熟悉的四次方衰减。像素模型已通过通量和角度换算计入这些关系；额外再乘衰减因子就会重复计算。

一手来源与计算说明

  1. Hogg (1999), Distance measures in cosmology

    光度距离一节：全频积分通量、角径与光度距离，以及光谱密度变换。数值例子采用明示的无辐射宇宙学模型。

  2. Photutils, PSF photometry

    寻找源、固定已给位置、拟合像素积分光形与混叠分组。用于说明先找位置与已知位置的通量估计是不同步骤。

  3. Sandbox Physics, finite physical-model checks

    实际58项有限试验：匹配Astropy宇宙学、独立标量通带积分、有限高斯像素与四组各1024次白噪声检验。统计检验采用每像素0.05纳扬斯基，五组保存的成像例子采用0.15。

  4. Sandbox Physics, specified synthetic imaging examples

    原创受控例子，含准确参数、距离、原生通带总量与保存的噪声测量。不含观测星系目录、混合来源ZIP、交互引擎或实测宇宙光度函数。

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