红移怎样把紫外光度变成我们收到的通量

先说明每一个“每”指什么

总光度是源每秒发出的能量，单位为瓦。发射谱密度 $L_{\nu,e}$ 还要再除以发射频率区间，单位为瓦每赫兹。观测谱密度 $f_{\nu,o}$ 则是接收端每秒、每平方米、每赫兹收到的能量。下标分别标记发射端与观测端。

同一小段光谱传播到我们这里时，波长拉长，频率降低。一个很窄的发射频率区间也被压窄。谱密度的数值必须随“每赫兹”到底有多宽一起换算。

\nu_e=(1+z)\nu_o,\qquad d\nu_e=(1+z)\,d\nu_o

频率与频率区间采用同一个伸缩因子。红移十时，发射端十一赫兹宽的一段，在观测端只有一赫兹宽。

对应阅读：Hogg

光度距离按总光度和总通量的关系定义。“总”表示把完整光谱加起来。这一定义已经包含传播过程中光子能量变低、到达速率变慢等影响。

F_{\rm bol}=\frac{L_{\rm bol}}{4\pi D_L^2},\qquad F_{\rm bol}=\int f_{\nu,o}\,d\nu_o,\qquad L_{\rm bol}=\int L_{\nu,e}\,d\nu_e

总通量单位为瓦每平方米，光度距离采用与面积因子一致的长度单位。积分只是把光谱各小段的贡献加起来。

对应阅读：Hogg (1999)

同一发射频率小段与它红移后的小段，应该遵守同一个总量关系。观测区间更窄，谱密度要相应变大，才能在积分后回到正确的总通量。

f_{\nu,o}(\nu_o)=\frac{(1+z)L_{\nu,e}((1+z)\nu_o)}{4\pi D_L^2}

发射谱取在对应的发射频率，而不是直接取观测频率。几何稀释仍由光度距离负责。

\int f_{\nu,o}\,d\nu_o=\frac{1}{4\pi D_L^2}\int L_{\nu,e}\,(1+z)\frac{d\nu_e}{1+z}=\frac{L_{\rm bol}}{4\pi D_L^2}

这个积分检查能发现红移因子写反。只检查单位，发现不了一个无量纲因子的位置错了。

对应阅读：Hogg (1999) · Hogg

AB星等把频率谱密度写成对数。这里明确采用3631扬斯基作零点；一扬斯基是瓦每平方米每赫兹的十的负二十六次方。较小的星等数表示较大的通量。

绝对紫外星等把源想象放在十秒差距处，在静止系一百五十纳米定义谱密度归一化。它规定这段紫外光有多强。若想由此估计恒星质量，还要进一步知道恒星年龄、组成与活动核等光源的贡献。

m_{\rm AB}=-2.5\log_{10}\!\left(\frac{f_\nu}{3631\,\mathrm{Jy}}\right),\qquad L_{\nu,1500}=4\pi(10\,\mathrm{pc})^2(3631\,\mathrm{Jy})10^{-0.4M_{1500}}

在右式换成SI光度时，要把扬斯基换成相应的SI谱密度单位。这里先定义单色量；宽通带测量还需要按真实响应加权。

L_\lambda\propto\lambda^\beta,\qquad L_\nu=L_\lambda\frac{\lambda^2}{c}\propto\lambda^{\beta+2}

两种谱密度分别按波长与频率切分。斜率取负二时，未消光的频率谱密度为常数，适合做独立检查。

对应阅读：Hogg

取红移十、绝对紫外星等负二十，频率谱密度平坦。例子采用平直的物质加宇宙常数背景，哈勃常数七十公里每秒每百万秒差距、物质份额十分之三，省略辐射。它是一组给定宇宙学参数，用来把公式变成可以检查的数值。

在这组参数下，光度距离约一千零三十八点四三亿秒差距。用上面的变换，观测谱密度约三十七点零四纳扬斯基，AB视星等约二十七点四八。这里特意关掉尘屏与星系际吸收，四个通带面对同一条平坦频率谱时应给出同一均值。

m_{\rm AB}=M_{1500}+5\log_{10}\!\left(\frac{D_L}{10\,\mathrm{pc}}\right)-2.5\log_{10}(1+z)

这条简式适用于这里的平坦频率谱与相应的AB参考。一般光谱穿过不同滤光片时，应回到带有频率参数的关系并计算通带积分。

光度距离按亮度定义，不是把飞行时间乘光速得到的路程。总通量的几何因子使用光度距离。把一个物理半径换成天空上的角半径，则使用角径距离。这两个距离有相同的单位，却回答不同问题。

D_L=(1+z)^2D_A,\qquad\theta_{1/2}=\frac{r_{1/2}}{D_A}

角度以弧度表示，物理半径和角径距离先换成同一长度单位。红移十时，零点三千秒差距对应约零点零七二一角秒。