用三个真实源，复算一份有条件的JADES体积

先认清数据版本和原始类别

从Curtis-Lake等人的DR4选源论文第二版读起。先看第2.4节面积表和第3.3节目标类别，再看第4.5节怎样处理体积与成功率。下载材料使用固定的Combined_DR4_external_v1.2.1.fits目录，选GOODS-N mediumjwst的原始1a优先级，排除临时提升的oddball目标。NIRSpec用可开关的微快门阵列（MSA）把部分候选的光送入光谱仪，分配统计记录了谁实际取得光谱。

公开小包把这一类的十二行事实单独列成CSV，保留原ID、光谱标记、红移、光谱推得的紫外星等、分配概率和两个gold标记。完整约九十四兆字节FITS的URL与SHA256也列出，供另外核对；重算不需要把整份目录下载进来。

对应阅读：Curtis-Lake et al. · JADES DR4 · Sandbox Physics

把十二次观测逐一归类

这类原候选有十三个，其中十二个获得观测。十二个里，七个有A、B或C级的可靠光谱红移且大于九，四个可靠红移落在该类目标范围之外，一个没有可靠红移。后者的E标记继续表示未知；光度红移也不会在这里被升格成光谱确认。

这里先计算一个明确的亮度片段：红移大于九且不超过十点五，光谱紫外绝对星等从负二十二到负十九点七五，不含暗弱端点。符合的真实源有三个，列在下表。选这个探索性片段，是为了让整个亮度范围都在后面规定的模型切割以内；选择前已经看过目录，所以它不是一次盲检验。

原始源ID后缀	光谱标记	红移	光谱紫外绝对星等
619	A	9.06815	−20.0002
19715	A	9.30259	−19.9739
55757	A	9.74211	−19.7987

对应阅读：JADES DR4 · Sandbox Physics

面积和距离先给出几何体积

表2给出这一层级的MSA可用区域并集面积二十五点八八六平方角分，其中原选源时有NIRCam覆盖的比例为百分之九十三点五。相乘得到二十四点二零三四一平方角分。并集面积避免把相互重叠的指向重复相加。

这次复算采用论文声明的宇宙学：哈勃常数六十七点六六、物质份额零点三一零、空间平直并省略辐射。它与前面受控成像例子的七十和零点三是两套明确参数；下面所有距离与体积统一使用这一套。

\Omega=24.20341\left(\frac{\pi}{180\times60}\right)^2\,\mathrm{sr},\qquad V_{\rm geom}=\frac{\Omega}{3}\left[D_C(10.5)^3-D_C(9)^3\right]

共动距离以百万秒差距计，所得体积约63905.614立方百万秒差距。程序另用体积元直接积分，并与Astropy的同参数宇宙学比较。

对应阅读：Curtis-Lake et al. · Hogg (1999) · Sandbox Physics

检查每个源究竟能看到多远

给定亮度后，暗弱切割还会限制一个源能贡献的红移范围。这里明确采用平坦频率谱，用光谱推得的紫外绝对星等，计算它何时会暗到AB二十七点九等。求得的亮度视界与红移箱上界取较小者，才进入体积计算。

m(z)=M_{\rm UV}+5\log_{10}\!\left(\frac{D_L(z)}{\mathrm{Mpc}}\right)+25-2.5\log_{10}(1+z)

这是规定的平坦频率谱模型；解视星等等于27.9得到模型亮度视界。光谱推得的星等与原选源孔径的测光值分别保留。

完整七个成功源中的例子	光谱模型视星等	相对27.9切割
17858	27.9948	较暗，不满足
59720	27.9008	较暗，不满足
80088	28.4677	较暗，不满足

对应阅读：Curtis-Lake et al. · JADES DR4 · Sandbox Physics

光谱亮度为何会越过原切割

上表三源确实属于原始成功类别，却在这套光谱平坦谱计算下超过原亮度切割。原选源用哪种孔径取光，光谱归一化又用了哪份数据，要回到对应观测逐项查明。程序保留三源与数值，不调整它们的星等，也不把不符悄悄删掉。

前面单独定义的三个亮源则都满足模型切割，而且暗弱边缘在红移十点五仍满足它。在这个亮片段内，每个源都采用同一个几何红移体积。这个检查只解决已声明光谱模型中的亮度范围；它没有找回原图像选择的完整概率。

对应阅读：JADES DR4 · Sandbox Physics

未知红移带来两个有条件的体积

先作一个可检查的假设：这份亮子样本与原类的分配和光谱成功情况可以交换使用。也就是说，亮子样本沿用原类的平均分配概率，并按原类成功与未知目标的比例处理光谱结果。这个条件让十二与十三等类计数能用于亮片段。

如果未知红移目标实际不在高红移范围，真正高红移目标的光谱成功比例取一。条件有效体积就是几何体积乘十二除以十三。如果未知者也在范围内，则七个成功对应八个真正高红移观测目标，再乘八分之七。

V_1=V_{\rm geom}\frac{12}{13},\qquad V_2=V_{\rm geom}\frac{12}{13}\frac78

两个体积约为58989.797和51616.073立方百万秒差距。它们是关于未知者的两种规定情形，不是置信区间，也没有包住所有选源系统误差。

n_1=\frac{3}{V_1}\simeq5.09\times10^{-5}\,\mathrm{Mpc}^{-3},\qquad n_2=\frac{3}{V_2}\simeq5.81\times10^{-5}\,\mathrm{Mpc}^{-3}

这是该亮片段的条件类密度，单位没有每等。没有随意再除一个亮度宽度，把它改名为发表的光度函数点。

对应阅读：Curtis-Lake et al. · Sandbox Physics

这份密度仍带着指向和选源条件

MSA指向曾为稀有高红移目标优化。这样的天区选择本身就可能偏向目标集中的位置。即使上面的分配和红移未知处理完全正确，条件类密度也不是随机抽样的宇宙平均；问题不只在三个源的泊松起伏或通常所说的场间差异。

原候选目录的成像检出、视觉检查、光度红移选择，以及光谱成功率随亮度变化的概率，都还没有由这份小包标定。要推向更一般的总体，需要把这些选择步骤和指向优化一起建模。前面的四波段模拟只能说明它自己的受控条件，不能补上这些观测概率。

目录还保留新旧gold标记，便于看清成员变化。用更新测光重新选一份gold样本后，原类别的分配统计并不会自动跟过去。另一个保留的不符是，当前类计数给出十二除以十三和二十一除以二十六，没有复现表10印刷的两个因子。这里没有据此改表或宣布原文算错；这份限定复算与论文汇总结果分别标记。

对应阅读：Curtis-Lake et al. · Sandbox Physics

从十二行事实独立跑到结果

下载条件体积包，先打开README和conditions.json，核对版本、面积、边界、假设与许可，再查看CSV里的十二行。解压后运行replay.py，会重新归类、求七个亮度视界、算体积并输出三个入选ID，保留不符与所有检查。

这份公开包在新目录实际通过六十二项冷复算检查。原结果另有四十七项独立门；公开包新增了重复ID、坏标记、错误类别和非有限输入等拒绝案例。MIT许可只覆盖原创程序，目录事实与论文表格继续保留JADES及作者归属。

对应阅读：Sandbox Physics · JADES DR4