M096 · IN06 从扭矩量黏度

旋转流变仪与 Couette–Poiseuille 流

液体越来越容易剪动，扭矩为什么还会增大？ 扭矩量的是某个转速下的总阻力。转得更快，液体剪动得也更快，即使单位剪切速率对应的阻力下降，总扭矩仍可能上升。把标定后的转速扫描与圆筒尺寸一起换算，才能分清这两种变化。

切换同轴圆筒与截尖锥板，标定扭矩传感器并保存转速扫描。比较牛顿标准液与剪切变稀样品，再从保留的读数求出流动曲线。

电机要用多大劲？

当前理想负载扭矩 $110\,\mathrm{\mu N\,m}$

当前名义剪切率 $28.0\,\mathrm{s}^{-1}$

保留扫描的流动指数 $1.00$

参考转速附近的表观黏度 $0.100\,\mathrm{Pa\,s}$

测量几何角速度

\Omega/(\mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1})

2

圆筒间隙

h/\mathrm{mm}

1

拖动金色驱动环改变转速。外杯或下板固定，青色标记跟随求出的液体速度。

样品、标定与模型

稠度系数

K/(\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}^{n})

0.1

流动指数

n

1

记录温度

T/{}^\circ\mathrm C

25

传感器噪声上限

a/\mathrm{count}

5

采样种子

s_0

179

另测当前记录温度下的牛顿参考液来标定计数。改变几何或温度后须重新标定。温度只记录设定值，模型不计算温度对材料的影响。

定常无滑移圆筒流，或锥板局部薄层模型；忽略端部扭矩、发热、屈服应力和弹性记忆。幂律只用于扫描的有限范围。转子与液体标记按四倍物理速度回放；标记大小为示意。锥板间隙高度放大十二倍，样品恰好填满所定义的间隙直到外缘。

模型假设

采用定常、等温、无滑移模型：同轴圆筒保留有限间隙，忽略端部扭矩；截尖锥板采用小角局部平行薄层近似，忽略有限角修正与边缘流动。剪切变稀采用有限转速范围内的无记忆幂律，不含弹性记忆、屈服应力、壁滑、二次流和发热。非牛顿样品的牛顿几何换算标为名义值，幂律修正随几何变化。另测牛顿参考液来标定传感器计数。温度由外部设定并记录，材料参数不随温度变化。原有平板 Couette–Poiseuille 工作台保留为独立模式。

从保留的传感器读数求流动曲线

默认模拟转速扫描，另行标定

$\dot\gamma_{\mathrm{nom}}/\mathrm{s}^{-1},\quad |\tau_{\mathrm{nom}}|/\mathrm{Pa}$

青色为升速，金色为降速。无记忆样品的两趟扫描应当重合；曲线只用保留的观测拟合。

表观黏度与有限间隙修正

$\dot\gamma_{\mathrm{nom}}/\mathrm{s}^{-1},\quad \eta/\mathrm{Pa\,s}$

青色采用牛顿几何换算；粉色用扫描拟合指数修正圆筒壁面剪切率，或修正截锥的应力换算。

原始观测与标定

保留的编码器转速与扭矩计数
时间（秒）	角速度（弧度每秒）	计数	温度（摄氏度）	扫描

CSV 与 JSON 保留几何、标准液读数、零点读数、标定编号、版本和种子。预览操作不会改写这些记录。

先抓重点

核心问题: 液体越来越容易剪动，扭矩为什么还会增大？
一句话直觉: 只要剪切率增长得比应力快，扭矩上升时，黏度仍会下降。

核心数学模型

牛顿液体的有限间隙换算

\dot\gamma_i=\frac{2|\Omega|R_o^2}{R_o^2-R_i^2},\qquad M=\frac{4\pi\eta L\Omega R_i^2R_o^2}{R_o^2-R_i^2}

内筒旋转，外杯固定。长度取浸入液体的侧壁长度，忽略端面扭矩。间隙变宽后，不能用平板近似替代这个几何因子。

由扫描斜率修正幂律样品的壁面剪切率

n=\frac{d\log|M|}{d\log|\Omega|},\qquad \dot\gamma_i=\frac{2|\Omega|}{n[1-(R_i/R_o)^{2/n}]}

斜率由标定后的保留扭矩读数拟合。修正式适用于无记忆、整个环隙都在剪动的幂律液体。

电机功率转成黏性耗散

M\Omega=\int_{R_i}^{R_o}|\tau(r)|\dot\gamma(r)\,2\pi rL\,dr\ge0

旋转方向反过来，电机供给的扭矩也反过来，两者相乘仍为正。等温模型假定外部恒温浴带走这些热量。

把截尖中心一起计入扭矩

\begin{aligned}h(r)&=\max(h_0,r\tan\alpha)\\ |M|&=2\pi\int_0^R K\left(\frac{|\Omega| r}{h(r)}\right)^n r^2\,dr\end{aligned}

每一圆环的应力大小乘面积，再乘力臂，就是它承担的扭矩大小。电机扭矩的正负随旋转方向改变。锥角与截断间隙定义的局部高度，也用于画面。样品恰好填到指定半径；采用薄层近似，忽略有限角修正与边缘流动。

常见难点

剪切变稀也可以原路返回

容易误解剪切变稀一定会画出正反扫的滞后环。

正确理解这里的幂律没有记忆，升速与降速沿同一条曲线返回，只差探测噪声。材料结构随时间重建，需要另外的本构模型。

动手实验

01
换成锥板
选“锥板让剪切接近均匀”，再看“样品间隙”。
你会看到： 浅锥与下板替代外杯和内筒。间隙高度放大十二倍；保留扫描同时保存锥板尺寸和单独的参考液标定。
02
比较牛顿液体的两个转速
先选“牛顿标准液”，再选“加速，黏度相同”。
你会看到： 理想负载扭矩随转速增大；另存扫描后，拟合的流动指数仍接近一。
03
放宽间隙
选“放宽圆筒间隙”，比较两条黏度曲线。
你会看到： 剪切变稀样品的名义换算与修正结果分开。修正量由圆筒尺寸和扫描拟合指数共同决定。
04
保存后再调装置
保存转速扫描，再拖动金色驱动环或改变间隙，导出记录。
你会看到： 装置预览采用新设置；保留的观测与导出文件仍使用保存时的几何和标定。

先抓重点

核心问题: 测剪切应力，能定出未知的黏度吗？
一句话直觉: 先确认近似成立，再用彼此独立的原始读数推断参数。

核心数学模型

间隙内的速度与剪切应力

\begin{aligned}\eta&=y/H,\quad G=-dp/dx\\u&=U\eta+\frac{GH^2}{2\mu}\eta(1-\eta)\\\tau&=\mu U/H+GH(1/2-\eta)\end{aligned}

下壁固定。剪切应力取法向朝上的流体面上受到的应力。

单位宽度流量

q=\int_0^H u\,dy=\frac{UH}{2}+\frac{GH^3}{12\mu}

正向和反向的流层在总流量里可以互相抵消，流体却仍在耗散能量。

单位平板面积的功率平衡

\begin{aligned}Gq+U\tau(H)&=\mathcal D\\\mathcal D&=\int_0^H\mu(u_y)^2\,dy\end{aligned}

运动壁面可以从流体里取出机械能。压力做的功加上壁面做的功，等于黏性发热。

由测得的剖面做估计

\begin{aligned}\widehat u&=c+a\eta+b\eta(1-\eta)\\\widehat\mu&=\frac{\sum_i\widehat u_{y,i}\tau_i}{\sum_i\widehat u_{y,i}^2}\\\widehat G&=2\widehat\mu b/H^2\end{aligned}

速度拟合带一个自由偏置。应力拟合假定传感器没有偏置，而且速度导数不能为零。

检查惯性是否够小

\mathrm{Re}_{\mathrm{peak}}=\rho H\max_y|u|/\mu

教学阈值 200 划出所选的低惯性范围，超出就不能采集。低于这个阈值，也不能证明流动稳定。

常见难点

参考曲线不是估计值

容易误解不记录数据，也能读出估计值。

正确理解清空记录，估计值就没了。传感器扰动可能拟合出不合物理的结果；估计值不做截断，也没有独立校准。

动手实验

01
分开两种驱动
比较仅壁驱动、仅压力驱动与联合驱动。
你会看到： 线性部分和抛物线部分直接相加，各自都满足壁面上的无滑移条件。
02
找到反向流层
选择反向流动，将金色探针移过间隙。
你会看到： 上壁往前走，中间的流体却可以往回流。
03
检查能量平衡
改变壁速，看壁面功率及其正负。
你会看到： 压力做功加上壁面做功，等于黏性发热，而发热不会为负。
04
采集并推断
采集间隙剖面，增加扰动并导出 CSV。
你会看到： 拟合只用记录下来的速度和应力，不读取参考黏度或梯度。

旋转流变仪与 Couette–Poiseuille 流

从保留的传感器读数求流动曲线

把转得多快与有多难剪动分开

核心数学模型

牛顿液体的有限间隙换算

由扫描斜率修正幂律样品的壁面剪切率

电机功率转成黏性耗散

把截尖中心一起计入扭矩

常见难点

剪切变稀也可以原路返回

动手实验

换成锥板

比较牛顿液体的两个转速

放宽间隙

保存后再调装置

速度、应力与耗散

核心数学模型

间隙内的速度与剪切应力

单位宽度流量

单位平板面积的功率平衡

由测得的剖面做估计

检查惯性是否够小

常见难点

参考曲线不是估计值

动手实验

分开两种驱动

找到反向流层

检查能量平衡

采集并推断

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