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Sandbox Physics

带电粒子的电磁运动

为什么磁场可以改变运动方向，却不改变粒子的速率？ 磁力始终和速度垂直，不做功，只能让粒子转弯。电场就不一样，它能直接改变粒子的动能。

让粒子穿过回旋加速器的缝隙，调射频节拍，比较逐次加速与失步。再切回均匀场，探索磁场圆周、交叉场漂移和电场加速。

交互模型带电粒子的电磁运动
速率4 m s−14\,\mathrm{m\,s^{-1}}
磁弯曲半径2 m2\,\mathrm{m}
动能8 J8\,\mathrm{J}
电场做功0 J0\,\mathrm{J}

每次过缝时发生了什么？

同一条保存的轨迹

最近几次过缝

    每个能量台阶和每个过缝标记，都来自上面的那条轨迹。

    模型、单位与来源

    射频模式用精确的非相对论磁场圆弧，以及零宽缝隙的电功冲量。D 形电极移去上盖，缝隙和粒子均放大；电荷、质量、长度、时间、电压在教学尺度下采用 SI 单位。一次记录中的射频时钟固定。电极轮廓会缩放到容下保存的轨迹，不计算固定孔径导致的损失。不考虑边缘场、有限过缝时间、碰撞、辐射、空间电荷、相对论失步和引出。若减速势垒足以反射粒子，轨迹停在缝隙。

    ωc=∣qBz∣m,ΔKn=qV0cos⁡(ωRFtn+ϕ0) sgn(vx,n)\omega_c=\frac{|qB_z|}{m},\qquad \Delta K_n=qV_0\cos(\omega_{\mathrm{RF}}t_n+\phi_0)\,\mathrm{sgn}(v_{x,n})

    回旋角频率由电荷、磁场和质量决定。粒子到缝隙时，电压的正负和过缝方向共同决定电功。均匀场模式改用位移计算电功，粒子不受射频缝隙作用。

    Lawrence 的回旋加速器讲演Lawrence 与 Livingston，1932读这项实验的历史

    带电粒子：电场改变能量，磁场改变方向

    背景带电粒子同时受电场和磁场作用。电场力的方向由电场决定，磁场力由速度和磁场的叉积决定。

    为什么值得理解质谱仪、回旋加速器、等离子体约束和霍尔效应，靠的都是同一个 Lorentz 力。

    核心问题
    为什么纯磁场能把路径弯成圆，却不能让粒子越跑越快？
    一句话直觉
    磁力始终垂直于速度，所以不做功；电场才直接改变动能。

    核心数学模型

    用动能定理检验

    K(t)−K(0)=q E⋅[r(t)−r(0)]K(t)-K(0)=q\,\mathbf E\cdot[\mathbf r(t)-\mathbf r(0)]

    均匀电场做的功由位移算出，拿它和记录的速度算出的动能变化比一比。磁场不做功。

    缝隙电场要赶上粒子

    ωc=∣qBz∣m,ΔK=qV0cos⁡(ωRFt+ϕ0) sgn(vx)\omega_c=\frac{|qB_z|}{m},\qquad\Delta K=qV_0\cos(\omega_{\mathrm{RF}}t+\phi_0)\,\mathrm{sgn}(v_x)

    非相对论粒子每转半圈都用相同时间。射频电场跟着反向，每次过缝就能加速；频率偏离后，粒子会遇到减速相位。这里把缝隙当作瞬时电功，不计算过缝时间。

    Lorentz 力

    F=q(E+v×B)\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)

    叉积同时给出磁力的大小和方向；电荷变号，总受力也反向。

    回旋半径和漂移速度

    rc=mv⊥∣q∣B,vD=E×BB2r_c=\frac{mv_\perp}{|q|B},\qquad\mathbf v_D=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{B^2}

    质量越大、垂直速度越大，轨道越大；E×B\mathbf E\times\mathbf B 漂移与质量和电荷符号都无关。

    常见难点

    磁场不提高速率

    容易误解只要粒子持续受力，速率就一定增加。

    正确理解垂直于速度的力只改变速度方向，功率 q(v×B)⋅vq(\mathbf v\times\mathbf B)\cdot\mathbf v 恒为零。

    负电荷的受力方向要反过来

    容易误解v×B\mathbf v\times\mathbf B 就是任何粒子的受力方向。

    正确理解v×B\mathbf v\times\mathbf B 给出的是正电荷的受力方向；q<0q<0 时方向正好相反。

    动手实验

    1. 01

      先比较射频的节拍

      依次选“每次都加速”“逐渐失步”和“晚了四分之一周期”，对照轨迹与过缝电压。

      你会看到： 同步时轨道逐圈扩大；失步后会减速；四分之一周期偏移时，过缝恰好碰上电压零点。
    2. 02

      先看纯磁场里的回旋

      选择“纯磁场圆周”，拖动记录时间轴。

      你会看到： 速率不变，路径弯成一个圆。
    3. 03

      把电荷反号

      点击“反转电荷”，比较记录轨迹。

      你会看到： 回旋方向反过来，半径差不多不变。
    4. 04

      加上垂直的电场

      选择 E×B\mathbf E\times\mathbf B 漂移并改变 E/BE/B。

      你会看到： 圆周的中心开始稳定地向一侧平移。

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