称一称原子核，怎样知道它绑得多紧

质量差就是拆开的代价

用 $Z$ 表示质子数，$N$ 表示中子数，总核子数为 $A=N+Z$。先设想把这些自由核子都放在无限远处，彼此不相互作用。它们的总静能高于核基态，差值就是结合能 $B$。约定束缚核的结合能取正值。

质量单位可以用千克，核物理更常用统一原子质量单位 $\mathrm{u}$；能量常用电子伏特及其百万倍 $\mathrm{MeV}$。$1\,\mathrm{u}\,c^2\simeq 931.494\,\mathrm{MeV}$。这里的 $c$ 是光速，这个换算把秤上的差值换成能量。

原子质量表包含电子。若用氢原子的质量代替质子质量，并在另一边用同样多电子的中性原子，电子静质量会抵消。本章计算氘的结合能，氢与氘电子结合能的同位素差别很小，可以忽略。较重核的电子结合能修正可能达到千电子伏特乃至更大，必须按所需精度处理。

来源：Wang et al.

完整例题：表里只差两千多

AME2020 质量表把质量写成“整数质量数加上一个小差值”。这个差值乘光速平方，叫质量过剩 $\Delta$，单位是 $\mathrm{keV}$。它可以是正数；这和核是否束缚是两回事，因为参照物是统一质量单位，不是自由核子。

冻结表中，中子的质量过剩为 $8071.31806\,\mathrm{keV}$，氢为 $7288.971064\,\mathrm{keV}$，氘为 $13135.722895\,\mathrm{keV}$。把一个氢原子和一个中子合起来，质量数恰好等于氘的质量数，整数部分抵消，只需相加再相减。

结果约为 $2224.566\,\mathrm{keV}=2.224566\,\mathrm{MeV}$。这是把氘拆成质子和中子的能量。反过来俘获时，这份能量由辐射和反冲带走。表中给出的结合能每核子约为 $1112.2831\,\mathrm{keV}$，乘二与前面的计算在舍入精度内相符。

来源：Wang et al.

最后一个中子可能已经绑得很松

把总结合能除以核子数，得到平均结合能。它适合比较不同大小的核，却会把最后一个中子的处境平均掉。要问“再拿走一个中子难不难”，应比较相邻同位素：质子数不变，中子数少一个。所需能量叫单中子分离能 $S_n$。

举一个自行设定的例子：某核结合能 $160\,\mathrm{MeV}$，少一个中子的邻核为 $159.5\,\mathrm{MeV}$。最后一个中子只绑住 $0.5\,\mathrm{MeV}$。即便总结合能很大，它仍可能拥有很长的波函数尾部。第八章会把这句话算成一个长度。

相邻核的分离能常呈奇偶交替，因为核子之间会形成配对相关。比较相差两个中子的结合能可以减弱这种交替，突出随中子数缓慢变化的趋势。壳闭合附近的突然变化，则提示后加的中子要进入更高的轨道。

来源：Wang et al.

一张质量表还不能画出核内部

同一个总结合能，可能来自不同的内部组织。核子可以主要在平均势里逐个运动，也能形成配对、振动和转动。质量约束的是能量，电磁跃迁与散射会补上波函数和空间分布的信息。下一章先建立最简单的图像：让一个中子在有限深的球形势阱里运动。

读数据时先认清三个标签：核素、能量零点、误差。评估表把许多测量整理成推荐值；有些质量来自外推，AME 用井号标出。把一个外推值当成独立实测点，会让壳结构看上去比证据更确定。

来源：NNDC

换一种探针，会读到另一种结构

质量给出能量差，电子散射则能读出电磁响应。现有的形状因子实验以一个质子为靶：改变电子的能量与探测角，在固定动量转移下分别确定电性和磁性响应。这里研究的是质子本身的响应，不能把图直接当成整个原子核的三维密度。

中子壳填充实验又是另一个尺度。它在球形平均势中填入中子，并由同一组波函数算出密度。到第五章，我们让中子从外面入射钙核，研究弹性通道中的核相互作用。先认清探针、靶和观测量，才知道每幅图到底在回答哪个问题。

来源：M. N. Rosenbluth