找出真正烧掉氘的那些碰撞

让每一种碰撞都参加求和

设想一团温度均匀的稀薄气体，里面有质子和氘核。氘核由一个质子、一个中子组成；它俘获另一个质子后，可以形成氦 3 并放出光子。我们只看两个入射核的相对运动，把它当成一个用约化质量描述的碰撞问题。

碰撞能量 $E$ 取质心系中的相对动能，约化质量为 $\mu=m_pm_d/(m_p+m_d)$ 。麦克斯韦能量密度说明每个小能区里有多少对核。再乘相对速度和截面，就得到这些核每秒扫过的有效碰撞体积。

对所有能量求和，得到反应率系数。要换成单位体积每秒发生多少次反应，还要乘质子、氘核各自的数密度。实验台显示的摩尔系数多乘了阿伏伽德罗常数，方便放进反应网络；它本身还没有包含气体组成。

\begin{aligned}f_E(E)&=\frac{2\sqrt E}{\sqrt\pi(k_BT)^{3/2}}e^{-E/(k_BT)},\\v(E)&=\sqrt{2E/\mu},\\R&=N_A\int_0^\infty\sigma(E)v(E)f_E(E)\,dE.\end{aligned}

能量概率密度的积分为一。温度取绝对温度，积分里的能量必须统一单位。质子与氘核是不同粒子，换算单位体积反应数时不需要相同粒子对的二分之一因子。

核反应截面往往随入射能量陡增。很大一部分变化，来自穿过库仑势垒的机会增加。把这个最陡的因子提出去，剩下的量叫天体物理 S 因子。它随能量变化平缓一些，也更适合比较相邻的测量点。

质子与氘核的电荷数都为一，约化质量约为 $0.6714\,\mathrm u$ ，相应的 Gamow 能量约为 $658\,\mathrm{keV}$ 。把 S 因子的定义代入热平均，能量的显式幂次抵消，只留下两种相互竞争的指数压低。

\begin{aligned}E_G&=2\mu c^2(\pi\alpha Z_pZ_d)^2,\\\sigma(E)&=\frac{S(E)}E e^{-\sqrt{E_G/E}},\\R&=N_A\sqrt{\frac8{\pi\mu}}(k_BT)^{-3/2}\int_0^\infty S(E)e^{-E/(k_BT)-\sqrt{E_G/E}}\,dE.\end{aligned}

这里 alpha 是精细结构常数。第一个指数让高速核变少，第二个指数让慢核难以隧穿。计算假定裸核、非相对论运动与麦克斯韦热平衡。

先做一个近似：窗口内的 S 因子变化不大，暂时把它当成常数。要让指数权重最大，只需让指数里取正号的那部分最小。对能量求一次导数，就能找到这个位置，也就是 Gamow 峰的常用估计。

取 $T=100\,\mathrm{MK}$ ，有 $k_BT=8.62\,\mathrm{keV}$ 。代入得到 $E_0=23.0\,\mathrm{keV}$ ，已经明显高于热能标度。这个例子说明，只在平均热能处取一个截面，会错过反应真正偏重的那些碰撞。

这次反应的 S 因子随能量上升。把它乘回来，完整反应贡献还会向高能挪。默认拟合中，贡献的中位能量约为 31 keV；所选 LUNA 最低、最高测量能量之间，只容纳约 47% 的计算反应率。两端以外的贡献依靠二次多项式外推。

\begin{aligned}\frac d{dE}\left(\frac E{k_BT}+\sqrt{\frac{E_G}E}\right)&=\frac1{k_BT}-\frac{\sqrt{E_G}}{2E^{3/2}}=0,\\E_0&=\left[\frac{E_G(k_BT)^2}4\right]^{1/3}.\end{aligned}

这里定位的是指数部分的最高点。完整窗口有宽度，还包含拟合 S 因子的能量变化。

假设十三个能量点共用一次效率标定。某个点的计数偏高，可以被另一个点的计数偏低部分抵消。共同标定若偏高，整条拟合曲线都会抬高。即使再多测几十个能量，这个影响仍会留在积分里。

把二次拟合写成三个基函数的和，系数记作向量 $\boldsymbol a$ 。积分对系数是线性的：分别积分每个基函数，得到响应向量 $\boldsymbol g$ 。系数协方差通过二次型传到反应率；共同的相对刻度误差则贡献 $(\delta_NR)^2$ 。

默认条件下，仅用 LUNA 点拟合的反应率为每摩尔每秒 5.38 立方厘米。独立点误差约占 3.13%，假定共同刻度占 2.40%，所选共同能量标定约占 1.54%；把这些独立分量按平方和相加，总相对标准误差约为 4.23%。把共同刻度误差加倍，中心反应率不动，误差区间变宽。

这个区间以二次曲线为前提，并没有回答最低测量能量以下还能怎样弯曲。另列的覆盖贡献，正是为了看清什么时候最需要担心外推形状。

R=\boldsymbol g^{\!T}\boldsymbol a,\qquad\operatorname{Var}(R)=\boldsymbol g^{\!T}C\boldsymbol g+(\delta_NR)^2+\left(\frac{\partial R}{\partial\epsilon_E}\delta_E\right)^2

C 来自独立点误差。最后一项把所有能量同时平移，在保留实测截面的条件下重新计算 S 因子并拟合。这里假定独立点误差、共同刻度与能量标定彼此独立。