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Sandbox Physics
核物理

L4 · 第 8 章

走近中子滴线，壳层和半径为什么会变

Sandbox Physics ·

给核不断加中子，后来的中子看到的平均环境也在变。壳能可以移动；接近逃逸阈值时，波函数还会伸到核芯之外。把稳定核的一张壳图原样搬到中子滴线，便可能同时错过能量重排和空间扩展。

加进来的中子会改变后来的轨道

第二章把核芯固定，只让一个中子运动。现在选一个待考察轨道 aa，再把中子填入另一个轨道 bb。每一对核子都有相互作用；把不同空间取向的作用平均起来，得到单极矩阵元 V‾ab\overline V_{ab}。它的单位是能量，正负分别对应平均排斥和吸引。

在最简的冻结轨道近似中，bb 每增加一个占据，aa 的有效能量便平移 V‾ab\overline V_{ab}。这个公式解释变化方向；实际核的轨道、占据和相关还要共同求解。

完整例题：设定 ϵa(0)=1.2 MeV\epsilon_a(0)=1.2\,\mathrm{MeV}，两体平均作用 −0.4 MeV-0.4\,\mathrm{MeV}，填入六个中子，便得 −1.2 MeV-1.2\,\mathrm{MeV}。若有效平均作用另有 +0.25 MeV+0.25\,\mathrm{MeV} 的排斥贡献，同样占据下能量变成 +0.3 MeV+0.3\,\mathrm{MeV}。这些是自设数值，用来分清“每对作用很小”和“累积位移很大”。

ϵa(nb)≃ϵa(0)+nbV‾ab\epsilon_a(n_b)\simeq\epsilon_a(0)+n_b\overline V_{ab}
一个冻结轨道的教学近似。能量以同一逃逸阈值为零；不能单凭此式宣布真实同位素束缚或非束缚。

来源：T. Otsuka et al.

原文中的氧问题在哪里

打开 Otsuka 等人的 2010 年论文 v3，先看图 2，再回到公式 1。图的纵轴是相对氧 16 核芯定义的有效单粒子能，横轴是中子数。公式 1 定义了取向平均；它把占据变化和平均相互作用连起来。图中曲线是指定相互作用和多体近似下的计算结果。

这篇论文比较了两核子作用与加入三核子作用后的氧同位素计算。三体机制带来的排斥能改变中子轨道的演化，帮助解释氧滴线为什么比只保留两体作用的计算更早到来。看图 3 的机制示意，再看图 4 的基态能量，才能把轨道图与束缚问题接起来。

这里的前沿阅读节点保留论文版本、图号和假设。本站复算的是前一节的冻结轨道例题，并未重新求解原文的多体哈密顿量。要做那一步，需要冻结核力、截断、基底、有效相互作用和数值误差，放到离线多体程序中。

来源：T. Otsuka et al.

先用评估质量看阈值怎样变化

AME2020 中，氧 24 的双中子分离能为 6.925 MeV6.925\,\mathrm{MeV}，氧 26 已降到 −0.018 MeV-0.018\,\mathrm{MeV}。用相邻偶数核相减，得到 6.943 MeV6.943\,\mathrm{MeV} 的经验双中子壳隙指标。配对、相关和连续态都会影响这个指标；单靠这一个差值，无法把能量变化全归给某一项核力。

氧 26 的单中子分离能仍为正，约 0.739 MeV0.739\,\mathrm{MeV}，双中子分离能却为负。原因在于移走一个中子后的氧 25 本身已处在非束缚一侧。判断一个核能否留住所有中子，必须同时检查允许的多粒子发射通道。

铍 11 移走一个中子只需 0.502 MeV0.502\,\mathrm{MeV}，铍 10 则需 6.812 MeV6.812\,\mathrm{MeV}。这是弱束缚的质量证据。它还没有给出外部概率；下面要把这个小能量接到径向波的衰减。

图中误差来自 AME 的分离能伴随表。质量评估里的数据彼此相关，不能把各核质量的误差随便当成独立项相加。图上保留的外推标记属于 AME2020 的知识状态，不代表今天的最新测量状态。

冻结 AME2020 氧同位素双中子分离能与铍同位素单中子分离能，保留已发表边际误差，并区分当时的外推值。
由冻结的 AME2020 质量过剩计算，并与已发表分离能伴随表相互检查。误差条采用原表边际误差，空心估计点保留该版本的外推状态。点图可放大。 数值与来源

来源：Wang et al. · AME2020 nuclear reaction and separation energy tables

很小的分离能会长出很长的尾巴

再回到一个中子加核芯的零角动量模型。核力在远处已经消失，负能量波只能指数衰减。由第二章的外部方程，衰减常数为 κ=Sn/C\kappa=\sqrt{S_n/C}。束缚越弱，κ\kappa 越小，尾巴越长。

取同一个示意常数 C=20.72125 MeV fm2C=20.72125\,\mathrm{MeV\,fm^2}。分离能从 5 MeV5\,\mathrm{MeV} 降到 0.5 MeV0.5\,\mathrm{MeV}，振幅衰减长度 1/κ1/\kappa 从 2.04 fm2.04\,\mathrm{fm} 增到 6.44 fm6.44\,\mathrm{fm}。核芯半径无需一起变大。图把边界处振幅设为相同，专门比较外部衰减。

衰减长度还不是核的均方根半径。完整半径要知道内外波函数如何归一化、外部占多少概率，以及核芯本身的大小。中子晕指显著延伸的弱束缚分量；只看一个小分离能，还要结合角动量和结构证据。高角动量的离心势垒会改变阈值附近的行为。

u(r)u(R)=e−κ(r−R),κ=SnC,r>R\frac{u(r)}{u(R)}=e^{-\kappa(r-R)},\qquad \kappa=\sqrt{\frac{S_n}{C}},\qquad r>R
这是核外零角动量径向振幅的比例，曲线没有假定完整波函数在核外的概率。
⟨(r−R)2⟩exterior=12κ2\langle (r-R)^2\rangle_{\mathrm{exterior}}=\frac{1}{2\kappa^2}
只有把纯指数概率单独在外部归一化时才成立；它是外部条件分布的二阶矩。
05101520径向振幅与边界振幅之比超出核芯边界的距离（fm）
  • 束缚能 5 MeV
  • 束缚能 0.5 MeV
按文中的无限重核芯例题计算核外振幅比。边界振幅设为相同，便于比较衰减长度；曲线不是完整归一化的核密度。

来源：David Tong

束缚态之外还有什么

分离能越过零以后，中子可以逃到无限远，离散的可归一化束缚态随之消失。某些角动量通道里，离心势垒仍能让波暂时滞留，形成有寿命、也有宽度的共振。第三章氧 17 中的一个能级就是中子非束缚共振，不能把它当成永远困在阱里的轨道。

研究弱束缚核时，结构和反应因而很难完全分开。能量告诉我们离阈值多近，散射与俘获提供连续态的信息。实验给出的能级、宽度和反应截面，需要在同一阈值和同一单位约定下比较。课程中的方阱和配对模型分别隔离机制；定量预测需选定能处理相应连续态的有效或多体方法。

来源：TUNL · H. Feshbach

把推理带进实验

找出谱里已经打开的中子通道

  1. 先预测：中子非束缚共振在表里还需要哪个量？
  2. 切到氧 17，读出 5.0848 MeV 态的宽度和模型残差。
  3. 解释为什么能量拟合成功，也不能独自确定寿命或外部尾部。

练习与解释性答案

  1. 保持约化质量不变，把束缚能减小到原来的四分之一，振幅衰减长度怎样变？

    展开解释

    由 1/κ=C/Sn1/\kappa=\sqrt{C/S_n}，衰减长度增大到两倍。这个结论只描述零角动量核外尾部；完整均方根半径还需要归一化。

  2. 某轨道从 0.8 MeV0.8\,\mathrm{MeV} 开始，每个新增占据带来 −0.1 MeV-0.1\,\mathrm{MeV} 位移。增加四个后是多少？若还存在每个占据 +0.15 MeV+0.15\,\mathrm{MeV} 的贡献呢？

    展开解释

    只取第一项时是 0.4 MeV0.4\,\mathrm{MeV}；加入第二项后净位移为正，得到 1.0 MeV1.0\,\mathrm{MeV}。这些自设相互作用给出冻结轨道的能量；要得到真实分离能，还要计算相邻同位素的完整基态能量。

来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

  1. AME2020 nuclear reaction and separation energy tables, rct1.mas20 and rct2.mas20

    冻结 2021 年 3 月氧和铍的未舍入条目，与质量表分别解析。保留已发表分离能边际误差；井号表示该版本中的外推。

  2. Wang et al., The AME2020 atomic mass evaluation (II), Chinese Physics C 45, 030003 (2021)

    2021 年 3 月 3 日质量表的格式说明及中子、氢、氘三行。质量过剩与平均结合能单位均为 keV，井号表示外推值。课程冻结三行数值及原始不确定度。

  3. David Tong, Quantum Mechanics, Chapter 4, spherical finite potential well

    径向方程、原点正则条件与有限球形势阱。阈值和尾部曲线是课程在无限重核芯例题中自行推导和计算的结果。

  4. TUNL, Energy Levels of A = 17 Nuclei, 1993TI07, Table 17.10

    选取氧 17 的能级、自旋宇称、能量误差及 5.0848 MeV 中子非束缚共振的宽度。原始数值与单中子模型拟合分列。

  5. H. Feshbach, C. E. Porter and V. F. Weisskopf, Model for Nuclear Reactions with Neutrons, Physical Review 96, 448 (1954)

    用复势描述弹性通道的流失。浏览器求解边界突变的复方阱，不采用全球光学势拟合。

  6. T. Otsuka et al., Three-body forces and the limit of oxygen isotopes, arXiv:0908.2607v3 (2010), PRL 105, 032501

    2010 年 6 月 19 日 v3，公式 1 与图 2–4。课程解读单极机制并计算示例占据数位移，不声称复现多体计算，也未数字化原文曲线。

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