FR07-A · 从能级间距读出运动

核能谱与集体运动

能级间距能分清整体转动和单中子激发吗？ 转动带的能级越往上，间距越大。闭壳核外多一个中子，能级则反映轨道能量与自旋—轨道分裂。把能量和允许的跃迁一起看，才能判断原子核怎样运动。

把氧和铒的评估能级，与单中子、转子和振子模型放在一起比较。拖动核形状，改变转动惯量，看预测的转动带怎样移动。

评估核素 ${}^{166}\mathrm{Er}$

模型第一激发能 $80.6\,\mathrm{keV}$

模型高低激发能之比 $3.33$

比较能级的残差均方根 $34.0\,\mathrm{keV}$

一个原子核，不同的解释

哪种间距经得起比较？

拖动亮色圆点改变惯量，再比较预测与评估能级。

相对参考值的转动惯量

\mathcal I/\mathcal I_0

1.00

模型、数据与键盘操作

评估值采用 TUNL 1993 年氧-17 数据节选和 ENSDF 2008 年 3 月铒-166 基态带。转子假设惯量恒定，谐振子只显示最大角动量的序列。氧模型把氧-16 当作不激发的核芯，采用简并的谐振子 sd 轨道和常量自旋—轨道项。氧的高能 d 态是非束缚共振。模型不计算配对、核芯激发、真实径向势、宽度和跃迁强度。核形状与角动量箭头均为示意，定态不表示粒子轨迹。

转子和振子共用评估的第一激发能。氧模型用两个 d 能级标定自旋—轨道强度。其余能级的残差检验模型；表中单列标定点。

聚焦画面后，用左右键改变当前参数。振动比较的谱保持固定；双声子多重态还包含零自旋和二自旋态，下方另有说明。

模型假设

评估数据 · 理想模型预测

用间距检验解释

评估能级转子 / 单中子模型谐振子

比较评估能级与两种理想谱。箭头标出所选电四极允许跃迁。

能量单位为 keV；残差取模型减评估值。
状态	评估值	模型值	残差	用途
$0^{+}$	$0\pm0$	$0.00$	$0.00$	参考零点
$2^{+}$	$80.5776\pm0.002$	$80.6$	$0.00$	标定
$4^{+}$	$264.99\pm0.003$	$269$	$3.60$	比较
$6^{+}$	$545.454\pm0.004$	$564$	$18.6$	比较
$8^{+}$	$911.208\pm0.006$	$967$	$55.7$	比较

跃迁与振动多重态

一个四极声子携带二单位角动量。两个相同声子可合成零、二、四自旋，在谐近似下能量相同。图中只跟踪最大角动量的序列；真实原子核里，多重态会分裂和混合。

箭头连接所选电四极允许向下跃迁，线宽不表示跃迁强度。参考惯量下，转子和振子共用评估的第一激发能。

n=0:\ 0^+;\quad n=1:\ 2^+;\quad n=2:\ 0^+,2^+,4^+

ENSDF 铒-166 · 2008 年 3 月 · 评估能级，第 1–2 页 · 冻结数据与来源

连着学核结构、散射与恒星反应率

先抓重点

核心问题: 能级间距能分清整体转动和单中子激发吗？
一句话直觉: 集体转动给出越往上越大的间距；单中子谱检验轨道能量与自旋—轨道作用。

核心数学模型

惯量固定的转动带

E_J=\frac{\hbar^2}{2\mathcal I}J(J+1),\qquad \frac{E_4}{E_2}=\frac{10}{3}

偶偶核的轴对称基态带从零角动量起，只取偶数角动量。能量均为激发能，单位 keV；参考转动惯量用评估的第一激发能确定。

一个轨道的自旋—轨道分裂

\begin{aligned}H_{\rm so}&=-\kappa\,\mathbf L\cdot\mathbf S/\hbar^2\\\Delta E_j&=-\frac{\kappa}{2}\left[j(j+1)-\ell(\ell+1)-\frac34\right]\end{aligned}

强度取正时，自旋与轨道角动量对齐的伙伴能量降低。轨道角动量为二时，两个 d 能级的间距为强度的二点五倍；两支合起来仍有十个磁子态。

电四极跃迁的允许条件

|J_i-J_f|\leq2\leq J_i+J_f,\qquad \pi_i=\pi_f

角动量三角关系与宇称不变，是电四极跃迁的必要条件。两个零自旋态之间不满足三角关系；满足条件也不能直接给出跃迁概率。

常见难点

转动带不是轨道清单

容易误解每升高一个核能级，都是一个中子换了轨道。

正确理解多个低能级可以共用一个内禀组态，只改变整体角动量。单粒子激发才改变轨道组态。

看起来接近，也可能远超测量误差

容易误解转子线和铒的能级很接近，模型就精确复现了评估谱。

正确理解评估误差只有几个电子伏特，转子残差却达到几十千电子伏特。模型解释的是更粗尺度上的谱形。

动手实验

01
先猜第四个能级
选择“铒核的转动带”。用评估的第一激发能预测高处能级，再比较三栏。
你会看到： 转子比等间隔声子序列更接近逐渐增大的间距。它的残差仍随角动量增大，说明恒定惯量只是近似。
02
把惯量加大
先猜能级会拉开还是压紧。把亮色圆点向右拖，再试“转动惯量增大”。
你会看到： 惯量越大，转动激发能越低。惯量加倍，能量减半；评估点保持不动。
03
检验单中子模型
选择“氧核外的一个中子”。比较用于标定的两个 d 能级与独立的 s 能级，再把“自旋—轨道强度”调到零。
你会看到： 模型能对准 d 能级的分裂，却把 s 激发能高估了约 1.16 MeV。强度为零时，谐振子 sd 能级合并；真实径向势的差别不能忽略。

核能谱与集体运动

用间距检验解释