有限深的核势怎样留下离散能级

先定义中子在哪里运动

把核芯中心作为原点，$r$ 是中子与核芯的距离，向外为正。势能在核外取零，半径 $R$ 内取常数 $-V_0$，其中 $V_0>0$。这是一口有限深球形势阱。暂时把核芯看成不变的球，忽略自旋、吸收和核芯激发。

两个物体都能运动时，径向运动用约化质量 $\mu=m_nM_c/(m_n+M_c)$。把波函数分成角向与径向两部分，再定义 $u(r)=r\mathcal R(r)$，三维方程就变成下面的一维径向方程。角动量量子数 $\ell$ 决定离心项；它在靠近原点时升高，抑制高角动量波进入核内。

来源：David Tong

接上波函数，也接上斜率

先算 $\ell=0$。把束缚态能量写成 $E=-S$，其中 $S>0$。核内波形是正弦，核外是指数衰减；原点正则性排除了余弦，远处可归一化排除了指数增长。

势能在边界有限跳变，波函数及其一阶导数仍须连续。把导数除以函数本身，未知振幅便消掉，留下 $k\cot(kR)=-\kappa$。求能量的任务变成：找出满足这个方程的 $S$。

最低束缚态刚出现时，$S$ 从正侧趋近零，外部衰减常数也趋近零。第一支正弦解于是满足 $kR\to\pi/2$。临界深度以下，吸引势虽然存在，却还留不住一个正规束缚态。

来源：David Tong

完整例题：把半径放大一倍

设核芯无限重，取 $C=20.72125\,\mathrm{MeV\,fm^2}$，这是中子运动的舍入示例。半径 $R=3\,\mathrm{fm}$ 时，临界阱深约 $5.68\,\mathrm{MeV}$。若把半径改成 $6\,\mathrm{fm}$，临界值降为约 $1.42\,\mathrm{MeV}$。

这个四倍差别来自波的弯曲代价。大范围内，同一最低驻波可以弯得更缓，动能更小，较浅的阱也能束缚。这里的数字来自边界条件，并没有把半径与阱深调到某个真实核素的谱。

对于真实核，中子还会激发核芯，也受到其他核子的剩余相互作用。球形平均场给出一组基底；实验激发能还包含关联与集体运动的影响，后面两章会分别讨论。

自旋为什么把一个轨道分成两个

中子有自旋 $s=1/2$。轨道角动量和自旋相加，总角动量可取 $j=\ell+1/2$ 或 $j=\ell-1/2$，后者要求 $\ell\ge1$。用 $\mathbf j^2=(\mathbf\ell+\mathbf s)^2$ 展开，就能算出两支的点积。这里角动量算符都按 $\hbar$ 为单位。

若示意相互作用为 $H_{\rm so}=-\xi\,\mathbf\ell\cdot\mathbf s$，取正的能量参数 $\xi$，较大的 $j$ 会下降。每个总角动量有 $2j+1$ 个磁量子态：两支分别容纳 $2\ell+2$ 和 $2\ell$ 个同种核子。加起来仍是原来含自旋的总态数。

以 $\ell=2$、$\xi=2\,\mathrm{MeV}$ 为例，六个 $j=5/2$ 态各下降 $2\,\mathrm{MeV}$，四个 $j=3/2$ 态各上升 $3\,\mathrm{MeV}$，分裂为 $5\,\mathrm{MeV}$。按态数加权的平均位移是零，这是很有用的数值自检。

来源：M. Goeppert Mayer