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Sandbox Physics
核物理

L3 · 第 5 章

中子遇到核势以后，波去了哪里

Sandbox Physics ·

中子遇到原子核，有些仍以原来的内态离开，有些让核激发，或进入其他反应通道。只研究第一种过程时，可以用一个带负虚部的势表示弹性通量的流失。原来难以逐一追踪的反应，便在出射波的大小上留下共同的痕迹。

先说明我们数的是哪一种中子

设一束中子向右传播，打在钙-40上。弹性散射要求中子与靶核的内态保持不变，散射只改变相对运动的方向。能量仍可在中子和反冲核之间重新分配，因此以下计算采用质心系。探测角从入射的前向方向量起。

取质心动能 E=1.2 MeVE=1.2\,\mathrm{MeV}，长度用飞米。中子与核都能运动，径向方程中的质量应取约化质量 μ=mnM/(mn+M)\mu=m_nM/(m_n+M)。例题把钙核质量近似为四十个原子质量单位，得 k=0.23767 fm−1k=0.23767\,\mathrm{fm}^{-1}，波长约为二十六点四飞米。核势半径为四点五飞米，波长比它大得多，波的干涉必须保留。

钙-40的基态自旋为零。这里再忽略中子自旋，把问题缩成一个中心势的标量波。这个选择省去了自旋轨道耦合与极化观测，适合先弄清角分布从何而来。

[−ℏ22μ∇2+U(r)]ψ=Eψ,k=2μEℏ\left[-\frac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+U(r)\right]\psi=E\psi,\qquad k=\frac{\sqrt{2\mu E}}\hbar
势是中子与核之间相对距离的函数，能量与波数都按同一个质心系定义。

来源：A. M. Moro

虚势把漏掉的通道记在波幅里

先把核势画成半径为 RR 的球形阱。阱内实部为负，表示吸引；再给它加上负虚部。若时间因子取 e−iEt/ℏe^{-iEt/\hbar}，负虚部会让波幅随时间衰减。概率连续方程也给出同一个结论：负虚势在弹性通道里对应一个汇。

这个汇并不要求中子从整个物理体系消失。它代表我们没有逐一计算的激发、俘获等通道。完整体系仍保存概率；光学势只保留弹性通道，用一个参数概括它与其他通道的交换。

U(r)={−V−iW,r<R,0,r≥R,V,W≥0U(r)=\begin{cases}-V-iW,&r<R,\\0,&r\geq R,\end{cases}\qquad V,W\geq0
势深度以兆电子伏计。方阱边界突变，实际核表面的弥散程度在此省略。
∂∣ψ∣2∂t+∇⋅j=2Im⁡Uℏ∣ψ∣2=−2Wℏ∣ψ∣2(r<R)\frac{\partial|\psi|^2}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf j=\frac{2\operatorname{Im}U}{\hbar}|\psi|^2=-\frac{2W}{\hbar}|\psi|^2\quad(r<R)
把含时薛定谔方程乘以共轭波函数，再减去其复共轭，就得到这条连续方程。右侧的负号固定了吸收势的符号。

来源：A. M. Moro

在势阱边界把每一圈波接起来

中心势保存轨道角动量。按角动量编号 ℓ\ell 拆开波，每一项叫一个分波。势阱外，每个分波都有朝内和朝外传播的球面波；把额外相位与振幅变化装进 SℓS_\ell，便得到散射矩阵的一个分量。

实势只改变相位，满足 ∣Sℓ∣=1|S_\ell|=1。有吸收时，出射弹性通量占入射通量的比例为 ∣Sℓ∣2|S_\ell|^2，因而小于一。方势阱内的正则解是球贝塞尔函数；让它在阱边与外部波的值、径向导数连续，即可求出每个分波的矩阵。

最后必须先把各分波的复振幅相加，再取模平方。不同分波会在某些角度相长、另一些角度相消，这便是角分布出现峰谷的原因。

q2=2μ(E+V+iW)ℏ2,ψℓ(r>R)∝12[hℓ−(kr)+Sℓhℓ+(kr)]q^2=\frac{2\mu(E+V+iW)}{\hbar^2},\qquad\psi_\ell(r>R)\propto\frac12\left[h_\ell^-(kr)+S_\ell h_\ell^+(kr)\right]
内部波数取虚部非负的平方根。两种球汉克尔函数分别表示朝内和朝外的径向波。
f(θ)=12ik∑ℓ(2ℓ+1)(Sℓ−1)Pℓ(cos⁡θ),dσdΩ=∣f(θ)∣2f(\theta)=\frac{1}{2ik}\sum_\ell(2\ell+1)(S_\ell-1)P_\ell(\cos\theta),\qquad\frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta)|^2
散射振幅的单位是长度，微分截面的单位是面积除以立体角。这里的角分布以平方飞米每球面度表示。

来源：David Tong · A. M. Moro

完整例题：弹性散射与损失各占多少

取 V=42 MeVV=42\,\mathrm{MeV}、W=4 MeVW=4\,\mathrm{MeV}、R=4.5 fmR=4.5\,\mathrm{fm}。边界匹配得到最低分波 S0=−0.452−0.788iS_0=-0.452-0.788i，其模平方约为零点八二六。这个分波约有百分之十七点四的入射通量离开弹性通道。

角积分利用 Legendre 多项式的正交性，把不同分波的交叉项消去。保留零至十二阶，得弹性截面 232.477 fm2232.477\,\mathrm{fm}^2、损失截面 109.947 fm2109.947\,\mathrm{fm}^2，两者相加为 342.424 fm2342.424\,\mathrm{fm}^2。每巴恩等于一百平方飞米，换算后分别约为二点三二、一点一零与三点四二巴恩。

这些数值来自给定方阱的计算。把虚部解释成某一种具体反应的截面，还需要那个反应通道的动力学。下一章先问一个更接近实验的问题：若只拿到几个角度的计数，能反推出哪一组势阱？

σel=πk2∑ℓ(2ℓ+1)∣Sℓ−1∣2,σreac=πk2∑ℓ(2ℓ+1)(1−∣Sℓ∣2)\begin{aligned}\sigma_{\rm el}&=\frac\pi{k^2}\sum_\ell(2\ell+1)|S_\ell-1|^2,\\\sigma_{\rm reac}&=\frac\pi{k^2}\sum_\ell(2\ell+1)(1-|S_\ell|^2)\end{aligned}
弹性截面衡量相对自由传播的散射，损失截面衡量流入其他通道的通量。两者相加给出总截面。

来源：David Tong

把推理带进实验

从波形追到截面

  1. 先预测吸收势降为零时，离开弹性通道的截面怎样变化。连续调低吸收深度，同时看波形与读数。
  2. 固定核势，沿圆周拖动探测器。找出前向和后向截面差别最大的位置，再在下方角分布中确认。
  3. 把吸收深度恢复为四。说明为何波形和角分布必须来自同一组散射矩阵。

练习与解释性答案

  1. 某个分波的 Sℓ=0.6eiπ/3S_\ell=0.6e^{i\pi/3}。它损失了多少入射弹性通量？

    展开解释

    出射与入射的弹性通量比为 ∣Sℓ∣2=0.36|S_\ell|^2=0.36，损失比例为零点六四。相位影响与其他分波的干涉，不改变这个分波单独的通量比。

  2. 若 Sℓ=0S_\ell=0，这个分波的弹性散射截面也为零吗？

    展开解释

    不会。散射振幅中出现 Sℓ−1S_\ell-1，其模平方此时为一，弹性散射仍有贡献。零表示没有向外的弹性径向分波；相对原来应有的自由传播，它依然造成衍射。

来源与复算范围

评估能级与已发表反应测量保留来源版本和不确定度。模型曲线、示意图与合成散射记录分别注明。离线基准文件逐项列出实际复算的范围。

  1. A. M. Moro, FRESCO notes, section 3.1, Optical Model

    公式 1–8：弹性通道波、分波截面与复势吸收。本站方阱实现固定中性入射粒子和质心能量。

  2. David Tong, Applications of Quantum Mechanics, scattering theory

    分波振幅、光学定理、相移与匹配。中子散射例题固定质心能量，采用无自旋中心势。

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