配对的核子与转动的原子核

把转动动能写成量子能级

经典物体的转动动能可以写成 $L^2/(2\mathcal I)$，转动惯量 $\mathcal I$ 越大，带上同样角动量需要的能量越小。对轴对称的形变原子核，取垂直于对称轴的转动，把角动量平方换成量子本征值，就得到刚性转子谱。

偶偶核的轴对称基态带取内禀投影 $K=0$。沿轴正向和反向的形状相同，基态带允许的总角动量为 $J=0,2,4,\ldots$。这些态共用一个内禀组态。图中的形变画在随核体的坐标系里；它不表示基态在实验室中有一个固定朝向。

来源：R. F. Casten

完整例题：用一条线预测后面三条

ENSDF 2008 年 3 月的铒-166 基态带，前五个能级依次为 $0$、$80.5776$、$264.990$、$545.454$、$911.208\,\mathrm{keV}$。自旋从零开始，每次增加二。先用第一个激发态标定 $A=80.5776/6=13.4296\,\mathrm{keV}$。

接着乘上 $J(J+1)$。转子给出 $268.592$、$564.0432$、$966.9312\,\mathrm{keV}$。与原始评估值相减，三个独立比较点的残差为 $+3.602$、$+18.5892$、$+55.7232\,\mathrm{keV}$。高自旋处越偏越高，提示真实的有效惯量随激发有所变化。

一个容易心算的指标是第四自旋能级与第二自旋能级之比。刚性转子给 $10/3$，评估值约为 $3.29$，谱形相当接近；可是评估误差只有 $0.0020$ 至 $0.006\,\mathrm{keV}$。几千电子伏特的偏差仍然大得多。这个模型解释了排列规律，精确谱学需要更细的动力学。

来源：NNDC

若它是在振动，谱会怎么排

现在换一种想法：核形状绕球形平衡点做小幅四极振动。把这组振动量子化，一个振动量子叫一个声子，它携带二单位角动量。谐近似下，每增加一个声子，能量都增加同样的一份。

一个声子给 $2^+$；两个相同的四极声子可以合成 $0^+,2^+,4^+$，在理想谐近似下三者等能。只跟踪每层最大角动量的序列，$4^+$ 与 $2^+$ 的能量比就是二，明显小于铒的评估比值。实验台还列出了被这条最大角动量序列略去的双声子多重态。

真实核的振动会受非谐性和组态混合影响。判断一种集体运动，还可看电四极跃迁强度与四极矩。能量比先给出候选解释；要进一步重建核形状，还得把能量谱与这些电磁观测放在一起。

来源：R. F. Casten

拆开一对核子，代价来自哪里

在一个固定的 $j$ 壳内，磁投影 $m_j$ 和 $-m_j$ 互为时间反演伙伴。吸引性的零角动量配对把这些成对占据的组态混合起来，降低能量。配对描述核子之间的关联，转动描述整体的取向运动，两者可以同时存在于形变核中。

先做最小的可解例题：一个壳有 $2\Omega=2j+1$ 个磁子态，也就有 $\Omega$ 种时间反演对位置。只放入一对核子。若在任意两个成对位置之间的作用矩阵元都是 $-G$，那么所有位置等幅相加的态，每一行都收到 $\Omega$ 项，能量为 $-G\Omega$；与它正交的组合能量为零。

取 $j=5/2$，有三种对位置，设 $G=0.30\,\mathrm{MeV}$。完整配对态的关联能为 $-0.90\,\mathrm{MeV}$。在这个模型里，拆对态没有这份吸引能，代价为 $0.90\,\mathrm{MeV}$。当 $G\rightarrow0$，这份拆对代价消失。它是受限模型的精确结果，参数没有用铒的质量或能谱拟合。

更多核子时，用资深数 $v$ 记录没有组成这种零角动量对的核子数。下面是同一个简并单壳模型的精确能量。真实核的能级有间距，配对也会与形变、转动相互影响；这里先把这一个可解机制看清。

来源：J. Dobaczewski et al.