E-X3 · 把中子填进量子态

填满原子核的中子壳层

自旋—轨道分裂怎样在二十八个中子处打开壳层间隙？ 自旋—轨道作用把总角动量较大的一支压低。在这个中子模型里，八个状态从较高谐振子壳层中分开，接在二十个中子后面。再填八个，就在二十八处出现间隙；能级只填一部分时没有这道间隙。

填充球形中子云，逐渐打开自旋—轨道作用。比较已占能级、壳层间隙和径向密度，再拖动探针穿过核云。

单粒子壳层间隙 $0$

中子均方根半径 $0$

探针处密度 $0$

模型假设

定态模型只填中子，采用球形谐振子状态与现象学负自旋—轨道项，不含质子场、剩余相互作用、配对和形变。最大系数为零点一二个谐振子间距，乘以约化普朗克单位下的两倍轨道与自旋内积。能级按完整角动量简并度从低处填起，未填满的多重态平均占据各磁子态，形成球对称系综密度。显示密度与均方根半径来自同一组归一化径向波函数。径向探针只是观察游标。能隙为模型单粒子间隔，不是实测分离能。范围比较二、八、二十、二十八和四十附近的轻壳层；真实重幻数需要更完整的哈密顿量。核云显示概率密度，空间作示意放大，粒子没有经典绕行轨道。

指定量子模型

同一团中子云填了哪些状态

默认状态

已占中子状态

未占状态

径向曲线积分等于中子数。未满多重态作球对称平均，核云均为定态。

先抓重点

核心问题: 自旋—轨道分裂怎样在二十八个中子处打开壳层间隙？
一句话直觉: 总角动量较大的一支被压低，八个状态接在二十中子闭壳之后。

核心数学模型

指定的谐振子与自旋—轨道能量

E_{nlj}=\hbar\omega\left[2n+l+\frac32-0.12g_{\rm so}\left(j(j+1)-l(l+1)-\frac34\right)\right]

径向量子数从零起，调节项把总角动量较大的一支压低。

一个多重态的容量

d_j=2j+1

中子填入可用磁子态，未填满时在各磁子态间平均分配，保持球形系综。

径向中子数密度

P(r)=\sum_a n_a r^2|R_a(r)|^2,\qquad\int_0^\infty P(r)\,dr=N

核云与径向图都用同一组归一化谐振子波函数。

常见难点

核云没有经典轨道

容易误解看见的中子沿着圆形轨道运动。

正确理解核云是一种定态量子概率分布，没有给单个核子指定运动轨迹。

模型能隙不是实测分离能

容易误解读数精确给出真实同位素拆掉一个中子的能量。

正确理解它是指定单粒子哈密顿量里的间隙，真实分离能还受关联、配对与其他场影响。

动手实验

01
比较未分裂和已分裂壳层
先选“未分裂谐振子”，再选“二十八处开隙”。
你会看到： 未分裂谐振子在四十处闭壳，分裂后八个状态单独落下，在二十八后留下间隙。
02
把一个能级留在半满
选择“壳层尚未填满”，再逐个改变中子数。
你会看到： 同一多重态里还有相同能量的可用位置，单粒子间隙为零。
03
探查密度
拖动径向游标穿过核云，与下方径向图比较。
你会看到： 核云是定态球形密度，径向计数图还计入球壳体积随半径增加的影响。