核磁感应 / 频率

核磁自由感应频谱仪

用射频脉冲翻转宏观磁化，保留感应电压的两个正交通道。直接变换这些记录得到频谱，并从电压估计有符号频差与有效横向衰减。

理想单共振系综，瞬时宽带脉冲、指数本征衰减与 Lorentz 静态场分布。正交接收器已标定，白 Gaussian 电压噪声，每次重复前完全恢复。有效衰减不能单独分离本征弛豫与静态展宽。数据为合成，不拟合具体分子或历史装置。

静磁场竖直，收发线圈水平。脉冲期间开关隔离接收器，随后把感应电压送入有相位参考的正交接收器；电缆运动仅为示意。 $B_0=0.35\,\mathrm{T},\quad f_{\rm ref}\simeq14.902\,\mathrm{MHz}$

脉冲序列 / 平均接收电压

脉冲结束后，开始接收。

平衡重置

\theta_x

接收死时间有符号正交通道

一次完全重置的采集含 256 个复采样，死时间为 0.4 毫秒，此后每 0.4 毫秒记录；重复采集逐点平均。接收器分辨与射频参考的慢拍频，并非快速载波。

就绪，先预测再采集。

原始电压记录 / 独立的源期望

两个正交通道，保留正负。

$t/\mathrm{ms},\quad I,Q\;(\mathrm{\mu V})$

青色为同相电压，金色为正交电压。点是保留观测，细线是源期望，紫色虚线为仅从记录得到的拟合，灰色为已保存观测。

记录的有限窗变换

这张频谱，来自上面的电压。

$f/\mathrm{Hz},\quad |S_k|/\mathrm{\mu V}$

需要等间隔记录。使用矩形窗，不补零；幅值与有限窗线宽不是拟合吸收线，也不是独立弛豫测量。

推断 / 排除源参数

估计有效横向时间

\text{—}

估计有符号频差

\text{—}

估计初始电压幅值

\text{—}

保留的复采样

0

电压残差均方根

\text{—}

幅度消去后的有界全局搜索。弱信息与边界判断是诊断启发式，不是参数置信区间；合成数据恢复不构成对定律的独立实验证明。

核心数学模型

横向系综感应电压

\begin{aligned}s(t)&=A e^{-t/T_2^*}e^{i(2\pi\Delta f t+\phi)}\\\frac1{T_2^*}&=\frac1{T_2}+2\pi w\end{aligned}

Lorentz 静态频差分布的特征函数为指数；只有所设分布才给出这种衰减率相加。复幅度对估计器未知。

变换保留的电压

S_k=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}(I_j+iQ_j)e^{-2\pi i k j/N}

显示频谱来自实际等间隔有限记录，采用矩形窗。非负幅值丢失相位，但有符号频率轴保留旋转方向。部分记录的频率格更粗。

从两个电压通道推断

\underset{a\in\mathbb C,\,f,\,T}{\operatorname{minimize}}\;\sum_j\frac{|I_j+iQ_j-ae^{-t_j/T}e^{2\pi i f t_j}|^2}{\sigma_j^2}

每个候选频率与时间都消去复幅度。源衰减、展宽、相位与翻转角不输入拟合。

常见难点

模拟预设了定律

容易误解恢复源参数就独立验证了定律。

正确理解这些合成记录检验测量与推断流程；它们不是历史观测、参数置信区间或外部科学认证。

动手实验

01
先采集，再变换
采集参考脉冲，比较原始双路电压与有限窗频谱。
应该观察到： 频谱在保留等间隔记录后出现，并非另画的理想谱线。
02
区分展宽与寿命
保存记录，只增加场展宽，保持源本征时间。
应该观察到： 有效时间缩短；一次自由衰减无法分辨线宽来自哪一种机制。
03
反转拍频
选择负频差预设，再移除横向制备。
应该观察到： 复采样可分辨频差正负；没有相干信号时，弱信息规则不报告估计。