Q021 · 回波与退相干背后的噪声

自旋回波与噪声谱

哪些失去的相干，能被一个脉冲找回来？ 只有稳定失谐造成的相位散开。失谐在整个序列里不变，中途打一个翻转脉冲，各个自旋就会把积累的相位倒着走回去，最后重新对齐。快速涨落、不可逆的退相位和脉冲面积误差都消不掉。

看相位箭头散开、翻转、再聚拢。先比较同样的固定失谐在有翻转和没翻转时的差别，做出预测，再用模拟计数检验。展开完整实验，还能探索涨落噪声，以及怎样推断噪声谱。

所选序列 · 相位一致性 $100\%$

不翻转 · 相位一致性 $100\%$

初态已准备好，向前拖动时间看看变化。

相位钟示意的是旋转参考系里的横向分量，不是测得的自旋。条形读数来自系综模型，不是这六个示例的平均。

终点模型与采集读数

模型重聚焦相干 $\text{—}$

理想脉冲参考 $\text{—}$

数值概率误差 $\text{—}$

采集正结果 / 负结果 $\text{—}$

比例的 95% Wilson 区间 $\text{—}$

让散开的相位重新相遇

箭头转得有快有慢，慢慢散开。在中途翻转一次，看看它们怎样重新聚拢。

总自由演化时间

T

2\,\mathrm{ms}

频率分散

\sigma_f

0.35\,\mathrm{kHz}

翻转位置

\eta

0.5

播放位置

40\%

模型已演化时间 $0.8\,\mathrm{ms}$

拖动橙色脉冲标记，改变翻转时刻。

先猜一猜，再用计数检验

到终点时，这套序列会比不翻转保留更多相位一致性吗？

选一个预测，再把时间拖到终点。

噪声、脉冲误差与状态球

噪声：准静态 / 有限相关OU 噪声相关时间

\tau_c

1.5\,\mathrm{ms}

翻转次数：零次为 Ramsey

n

1

翻转脉冲面积误差

\epsilon_\pi

0\,\mathrm{\%}

Markov 纯退相干率

\Gamma_\varphi

0\,\mathrm{ms^{-1}}

每个基和设置的测量次数

N

400

采集种子

s

271

拖动橙色脉冲标记，可以挪动翻转脉冲的时刻。每次测量都从头制备状态；回放不会增加计数。

静态失谐在每次制备内保持同一个值；相关时间只影响涨落的 OU 噪声。理想脉冲下，相干用 Gaussian 滤波精确算出；有脉冲误差时，对 1,024 条轨迹取平均。

模型是旋转参考系中的两能级系统，失谐带有经典 Gaussian 噪声。脉冲瞬间完成，可以设定面积误差；不考虑有限脉宽和能量弛豫。理想脉冲有精确的滤波参考；有误差的脉冲用有限条轨迹求平均，数值误差另外给出。有限的衰减扫描不能唯一重建任意的噪声谱。

展开证据 · 计数、拟合与原始数据

先预测所选翻转序列能否胜过 Ramsey，再采集两组时间记录，然后检查条件噪声拟合。虚线是模型参考；彩色点和误差棒是采集比例及其 95% Wilson 区间。

尚未采集记录。

从采集计数推断

\text{—}

当前计数与 95% 区间

测量基	正结果 / 总数	95% Wilson 区间

模型密度矩阵 · 并非重建数据

\rho=\frac{I+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\sigma}{2}

最近原始事件 · 完整记录见 CSV

事件 / 批次	协议 / 测量基	时长（ms）	结果

科学依据： Hahn 1950 · Álvarez & Suter 2011

先抓重点

核心问题: 什么时候增加翻转脉冲，反而保留更少相干？
一句话直觉: 和独立测得的 Ramsey 基线相比，所选脉冲序列能把缓慢的失谐重新聚焦；快速变化、不可逆退相干和脉冲面积误差的影响仍然留着。

核心数学模型

Gaussian 失谐模型

C_f(u)=\sigma_f^2e^{-|u|/\tau_c},\quad H/\hbar=\pi\delta f(t)\sigma_z

OU 过程平稳，均值为零；失谐单位是 kHz，时间单位是 ms。另有一个准静态模式，在每次制备内保持同一个 Gaussian 失谐。

理想脉冲的相干

W(T)=e^{-\Gamma_\varphi T-\frac{(2\pi)^2}{2}\int_0^T\!\int_0^T y(t)y(s)C_f(t-s)\,dt\,ds}

开关函数在每次瞬时翻转处变号。这个精确的 Gaussian 表达式，只在脉冲面积理想时成立。

准静态 Hahn 极限

W(T)=e^{-\Gamma_\varphi T-2\pi^2\sigma_f^2T^2(2\eta-1)^2}

单个翻转放在正中，能精确重聚焦静态分布；一旦偏离中点，前后两段带符号的自由演化时间就抵消不完。

OU 噪声谱

S_f(\omega)=\frac{2\sigma_f^2\tau_c}{1+\omega^2\tau_c^2},\quad \operatorname{Var}\Phi=(2\pi)^2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}S_f(\omega)|Y(\omega)|^2

下图画出模型的功率谱密度和滤波权重，各自归一化，方便比较。它是诊断参考，不是从采集计数重建出的噪声谱。

常见难点

相干不是能量

容易误解横向向量缩短，说明能量损失。

正确理解本实验只有退相干和旋转，没有让能量弛豫的热浴。不准确的旋转能改变占据，但这不是热弛豫。

滤波看到的是一段频带，不是单个频率

容易误解一条衰减曲线能确定整个噪声谱。

正确理解滤波有有限宽度，还有旁瓣。两参数 OU 拟合的前提，是所选的噪声家族、扫描窗口，以及独立已知的 Markov 速率。

小点是模拟，不是采集数据

容易误解小点是同时测出的各个自旋方向。

正确理解它们是模拟内部的轨迹，画在用于分析的切换参考系里。每条采集记录只有二元结果；密度矩阵对没有观测到的噪声取了平均。

动手实验

01
让静态散开重新聚拢
选择准静态重聚焦，回放协议后采集时间扫描。
你会看到： Hahn 回波的计数几乎每次都是同一结果，独立的 Ramsey 记录却在衰减。缩短的向量代表整个集合的密度矩阵。
02
破坏时序
拖动橙色翻转标记离开中点，然后重新采集。
你会看到： 一部分相位散开又出现了。滑块也能用键盘设定同样的时序；移动相机既不改变物理，也不改变计数。
03
探查有记忆的噪声
选择 Hahn 回波并采集两条衰减记录，再选四脉冲串重复。
你会看到： 似然拟合只用计数，并假设噪声属于 OU 家族、Markov 速率已知。参数范围很宽或碰到搜索边界，说明数据定不准这个参数。
04
让推断失败
选择翻转误差，将采集计数与理想参考虚线比较，再选择快速噪声。
你会看到： 有面积误差时，假设理想脉冲的谱拟合会停用。轨迹积分的数值误差单独列出，不会并入 shot 置信区间。

自旋回波与噪声谱

用记录辨认是哪种噪声。