Q021 · 重聚焦 / 噪声相关

自旋回波与噪声谱

看相位箭头散开、翻转、重聚。先比较同样的固定失谐在有无翻转时的变化，做出预测，再用模拟计数检验。进一步展开完整实验，探索涨落噪声与噪声谱推断。

所选序列 · 相位一致性 $100\%$

不翻转 · 相位一致性 $100\%$

初态已准备好，向前拖动时间看看变化。

相位钟是旋转分析参考系中的横向分量示意，并非测得的自旋。条形读数使用集合模型，不是六个示例的平均。

终点模型与采集读数

模型重聚焦相干 $\text{—}$

理想脉冲参考 $\text{—}$

数值概率误差 $\text{—}$

采集正结果 / 负结果 $\text{—}$

比例的 95% Wilson 区间 $\text{—}$

只改一件事 · 看看会怎样

散开的相位，还能重聚吗？

两行从对齐开始。固定失谐让各个箭头以不同速度转动，比较有无翻转时的重聚结果。

1 · 选择并预测

到终点时，所选序列会比不翻转保留更多相位一致性吗？

2 · 播放或拖动时间

观察时间

0\,\mathrm{ms}

先选一个预测，再播放到终点检验。

3 · 用模拟计数检验

动画是模型预览。下面的操作在设定的终点分别重新制备并采集；原始计数和不确定性将在下方展开。

进一步探索 · 参数与状态球

上方的简单对照会重置为其声明的初态；这里可以改变完整实验。状态球是数学表示，不是自旋的空间方向。

总自由演化时间

T

2\,\mathrm{ms}

失谐噪声均方根

\sigma_f

0.35\,\mathrm{kHz}

噪声：准静态 / 有限相关OU 噪声相关时间

\tau_c

1.5\,\mathrm{ms}

翻转次数：零次为 Ramsey

n

1

每个时序格内的脉冲位置

\eta

0.5

翻转脉冲面积误差

\epsilon_\pi

0\,\mathrm{\%}

Markov 纯退相干率

\Gamma_\varphi

0\,\mathrm{ms^{-1}}

每个基和设置的测量次数

N

400

采集种子

s

271

拖动橙色脉冲标记改变翻转时刻。每个事件从重新制备开始，回放不增加计数。

固定失谐在一次制备中保持不变；相关时间仅影响涨落的 OU 噪声。理想脉冲采用精确 Gaussian 滤波，脉冲误差采用 1,024 条轨迹。

旋转参考系中的两能级模型，经典 Gaussian 失谐噪声。脉冲瞬时作用并可带面积误差，忽略有限脉宽和能量弛豫。理想脉冲使用精确滤波参考；误差脉冲使用有限轨迹集合，另列数值误差。有限衰减扫描不能唯一重建任意噪声谱。

展开证据 · 计数、拟合与原始数据

先预测所选翻转是否胜过 Ramsey，再采集两种时间记录，检验条件噪声拟合。虚线为模型参考；彩色点与误差棒为采集比例及 95% Wilson 区间。

尚未采集记录。

从采集计数推断

\text{—}

当前计数与 95% 区间

测量基	正结果 / 总数	95% Wilson 区间

模型密度矩阵 · 并非重建数据

\rho=\frac{I+\boldsymbol r\cdot\boldsymbol\sigma}{2}

最近原始事件 · 完整记录见 CSV

事件 / 批次	协议 / 测量基	时长（ms）	结果

科学依据： Hahn 1950 · Álvarez & Suter 2011

先抓重点

核心问题: 什么时候增加翻转脉冲，反而保留更少相干？
一句话直觉: 将所选序列与独立采集的 Ramsey 基线比较。缓慢失谐可以重聚焦；快速变化、不可逆退相干和脉冲面积误差仍会留下影响。

核心数学模型

Gaussian 失谐模型

C_f(u)=\sigma_f^2e^{-|u|/\tau_c},\quad H/\hbar=\pi\delta f(t)\sigma_z

OU 过程平稳且均值为零；失谐用 kHz，时间用 ms。准静态模式则在每次制备内保持同一个 Gaussian 失谐。

理想脉冲的相干

W(T)=e^{-\Gamma_\varphi T-\frac{(2\pi)^2}{2}\int_0^T\!\int_0^T y(t)y(s)C_f(t-s)\,dt\,ds}

开关函数在每次瞬时翻转处变号；此精确 Gaussian 表达式只适用于理想脉冲面积。

准静态 Hahn 极限

W(T)=e^{-\Gamma_\varphi T-2\pi^2\sigma_f^2T^2(2\eta-1)^2}

单个居中翻转可精确重聚焦静态分布；偏离中点后，带符号的自由演化时间不再抵消。

选定的 OU 噪声谱

S_f(\omega)=\frac{2\sigma_f^2\tau_c}{1+\omega^2\tau_c^2},\quad \operatorname{Var}\Phi=(2\pi)^2\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}S_f(\omega)|Y(\omega)|^2

下图显示模型谱密度与滤波权重，各自归一化便于比较；它是诊断参考，并非从采集计数重建的噪声谱。

常见难点

相干不是能量

容易误解横向向量缩短，说明能量损失。

正确理解本实验包含退相干与旋转，不含能量弛豫热浴。错误旋转可改变占据，却不等于热弛豫。

有限滤波不是单个谱点

容易误解一条衰减曲线能确定整个噪声谱。

正确理解滤波有有限宽度和旁瓣。两参数 OU 拟合以所选家族、扫描窗口和独立已知 Markov 速率为条件。

轨迹散布不是采集记录

容易误解小点是同时测出的每个自旋方向。

正确理解它们是切换分析参考系中的潜在模拟轨迹。单次采集只记录二元结果，密度矩阵平均了未观测噪声。

动手实验

01
找回准静态集合
选择准静态重聚焦，回放协议后采集时间扫描。
应该观察到： Hahn 计数接近确定结果，独立 Ramsey 记录则衰减。缩短向量代表集合密度矩阵。
02
破坏时序
拖动橙色翻转标记离开中点，然后重新采集。
应该观察到： 残留相位分布重新出现。滑块提供相同的键盘控制；相机移动不改变物理和计数。
03
探查有限记忆
选择 Hahn 回波并采集两条衰减记录，再选四脉冲串重复。
应该观察到： 计数似然拟合以 OU 家族和已知 Markov 速率为条件；宽范围或触及搜索边界说明参数辨识受限。
04
让推断失败
选择翻转误差，将采集计数与理想参考虚线比较，再选择快速噪声。
应该观察到： 存在面积误差时，理想脉冲谱拟合停用。轨迹积分的数值误差另列，不混入 shot 置信区间。

自旋回波与噪声谱

循着记录，辨认噪声。