中微子 · D13 · 它们来自哪里？

中微子天空搜索观测台

扫遍整片天空才找到的中微子热点，还算不算真证据？ 要看它能不能胜过搜索本身碰巧找出的热点。用同样方法扫很多张只有本底的天空，记下每张里最强的热点，真实热点得比这些更突出。只看某一个固定位置的偶然概率，会把证据说得太强。

转动一张由重建中微子方向组成的天图，记录一批事件。跟着某个事件的角误差圆环，再把同一个热点分别放进小候选目录和覆盖全天的网格里检验，看看搜得越广，巧合要付出多少代价。

冻结方向数 $0$

所选方向似然 $0$

有限搜索尾部估计 $1$

在天空中寻找中微子源

找出事件聚集的方向

曝光 · 任意单位

t

2\,\mathrm{arb.}

每曝光单位的源期望计数

r_s

8\,

记录角标准差参数

\sigma

6\,{}^\circ

注入源赤经

\alpha_s

120\,{}^\circ

注入源赤纬

\delta_s

0\,{}^\circ

换个设置，再搜同一片天空

分析宽度倍率

a

1\,

赤经重排天空数

B

64\,

看过天空再选核函数，相当于多做了几次试探，当前的尾部估计没有把它们算进去。

改了采集设置，要采集新的天空才生效；改了分析设置，要重新运行搜索。候选点和搜索范围都沿用同一批成对重排的天空。

这是只含方向的生成教学样本，不是 IceCube 数据，也不是原始传感器击中。本底各向同性，每个事件的方向弥散用严格归一化的球面核函数描述；没有模拟能量、接收率和通量。162 点网格故意取得很粗，可能漏掉源。有限次赤经重排只能标定这个固定的搜索和选定的核函数。尾部估计受模拟次数限制，有下限；这里不给发现显著性，也不断言存在真实的源。

预先规定的搜索所选候选点 · 同一网格

冻结重建方向

等面积方向图，每个点是一个生成并记录下来的方向。金色标出所选网格点，白色标出所选事件。

从这些事件得到的似然

颜色按当前记录的最大分数缩放；每个色块是最近的网格单元，不是插值得到的源位置。固定的粗网格可能漏掉很窄的源或不在格点上的源。点击图表或用候选点选择器选取。

更公平的本底比较

一个固定方向搜索内最大值所选观测分数

每次重排都保留每个事件的赤纬和角误差，只把赤经独立打乱。两张直方图用的是同一批重排天空。

局部分数只是第一个问题

候选点赤经与赤纬: $0$
条件拟合源计数: $0$
二倍对数似然比: $0$
局部尾部估计: $0$
有限搜索尾部估计: $0$
搜索超越数／重排数: $0$
候选位置数: $0$
模拟下限: $0$

加一估计不会等于零。局部尾部概率只对看数据之前就定好的方向有意义。搜索尾部考虑了当前固定的目录或网格，但不包括事后更换目录、核函数或分析方法带来的试探。估计值碰到模拟下限，也不代表发现。

每个事件方向都有误差

事件编号 1

记录赤经与赤纬: $0$
距候选点角距离: $0$
假定 68% 核函数半径: $0$

揭示注入源与事件来源

青环是记录事件的核，金环是假定候选点的核。两者画的都是严格球面上的 68% 包含半径，不是标准差参数本身。天球和径向引导线表示方向空间，不是飞行路径，也不是探测面。

候选点似然可访问表

角度以度计；仅方向条件拟合
网格	赤经	赤纬	拟合计数	分数

全部记录方向列表

全部生成记录事件；角度以度计
事件	赤经	赤纬	标准差参数

模型、试探与一手来源

本底计数和源计数是独立的泊松变量，都随曝光（任意单位）增长。本底在立体角上均匀分布；源方向服从归一化的冯·米塞斯–费舍尔核，集中参数等于以弧度计的标准差平方的倒数。这个标准差是小角度下切平面上的宽度，不是包含半径。源坐标和成分标签只用于生成事件和可选的真值显示。

分析以记录到的事件总数为条件。每个固定方向只拟合一个非负的源比例，本底取均匀分布。没有考虑能量、谱指数、时间、赤纬接收率、大气成分、地球吸收和真实望远镜的响应。每个事件的误差估计是理想的，并且已知。分析宽度设错时，仍有它自己的条件重排标定，但这不能标定通量或源计数的误差。

右手坐标系，北向上；赤经零度沿第一水平轴，赤经 90 度沿第三轴的负方向。18 乘 9 的网格在赤经和赤纬正弦上均匀分布，不含两极。所有扫描分数和重排分数都保存在 CSV 里；估计值等于超过次数加一，除以重排次数加一。重排次数有限，估计值有噪声，也有一个硬下限；它不是高斯显著性，也不是置信区间。重复曝光或事后挑选搜索方式，会多出没有计入的试探。

先重建一条径迹 →探索全球历史 →

先抓重点

核心问题: 只有本底的天空，会不会也在某处至少这么显眼？
一句话直觉: 扫描之后才选出的方向，要和同一搜索在纯本底天空上找到的最大值比较。

核心数学模型

单个事件方向在球面上的分布

S(\mathbf n\mid\mathbf s)=\frac{\kappa e^{\kappa(\mathbf n\cdot\mathbf s-1)}}{2\pi(1-e^{-2\kappa})}

球面核在整个立体角上积分为一。集中参数等于角标准差（以弧度计）平方的倒数。

源加本底的似然

\mathcal L(f)=\prod_i\left[fS_i+(1-f)B_i\right]

总事件数视为已知。只拟合非负的源比例，本底在立体角上均匀分布。

单个方向的检验统计量

T=2\ln\frac{\mathcal L(\widehat f)}{\mathcal L(0)}

对每个事先规定的网格点都算一次。分数大，本身并不是标定过的发现概率。

整个搜索的偶然概率

\widehat p_{\mathrm{search}}=\frac{1+\sum_{b=1}^{B}\mathbf1[T_{b,\max}\geq T_{\mathrm{selected}}]}{B+1}

同一批赤经重排也给出每个位置的局部尾部。重排次数有限，估计值就有下限；事后才定的核函数或目录选择不计算在内。

常见难点

重建方向不是原始数据

容易误解这些点是 IceCube 原始传感器击中。

正确理解它们是生成的重建方向估计。探测器怎样从传感器击中得到方向，见前面的径迹 Lab。

模拟下限不等于发现

容易误解没有一张重排天空超过观测值，就说明显著性极高。

正确理解重排次数有限，“加一”估计最低只能到模拟下限，也不能换算成几个高斯标准差的发现结论。

动手实验

01
跟随一个方向
选中一个事件，转动天球，打开候选点视角。
你会看到： 事件核在球面上画成一个圆环，圈住 68% 的概率。重建方向不等于源的精确位置。
02
搜索更多位置
保持候选点 78，在三个候选点与 162 点网格之间切换。
你会看到： 局部分数和局部尾部不变。搜索的位置越多，本底在某处超过同一阈值的机会只会更大。
03
寻找本底热点
选择纯本底，再前往最热候选点。
你会看到： 这一点的局部尾部可以很小，整个搜索的尾部却很普通，因为它是看过数据之后才挑出来的。
04
检验网格和核宽度
试试网格之间或宽角误差；然后不重新采集，改变分析宽度倍率，再运行搜索。
你会看到： 网格太粗或核函数选错，都可能漏掉源。看过数据再选这些设置，相当于又多试了几次。

中微子天空搜索观测台

这片天空有多巧？

冻结重建方向

从这些事件得到的似然

更公平的本底比较

局部分数只是第一个问题

每个事件方向都有误差

一个热点，多次机会

核心数学模型

单个事件方向在球面上的分布

源加本底的似然

单个方向的检验统计量

整个搜索的偶然概率

常见难点

重建方向不是原始数据

模拟下限不等于发现

动手实验

跟随一个方向

搜索更多位置

寻找本底热点

检验网格和核宽度

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