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Sandbox Physics

中微子 · D07 · 转动的量子罗盘

中微子物质共振工作台

中微子穿过密度变化的物质时，量子态跟得上吗？ 密度变得够慢，就跟得上。这时量子态始终贴着当地的物质本征态走，出来时几乎全变成另一种味，中间没有被吸收。光是穿过共振区还不够，密度变得太快，量子态就会掉队。

让一个相干的中微子态穿过电子密度不断变化的区域。在布洛赫球上跟着它走，和真空中的演化对比，看缓慢平稳的味转换在什么时候失效。

交互模型中微子物质共振工作台
此处电子味概率—\text{—}
上方物质本征态占据—\text{—}
出射后真空相位平均—\text{—}

一个态穿过密度变化的介质

概率没丢，味道变了。

相干电子味概率

薄荷色是物质中的数值演化，虚线是同一入口态在真空中的传播。金色标记是共振位置，有共振时才出现。这是计算结果，不是对飞行中粒子的反复测量。

密度与共振条件

横轴为穿过示例一维剖面的距离，不是太阳半径，也不是真实地球模型。

瞬时本征态占据

金色是上方本征态的占据，玫瑰色是局部混合强度。本征态占据不变，说明态在瞬时本征基里跟上了变化，并不说明味道不变。

离开介质之后

在出口处把物质势立刻置零，投影到真空质量态上，再把它们的相对相位平均掉。这一步平均是另加的操作，得到的不是相干的端点概率。

计算的真空相位平均
00
绝热参考：缓慢变化，出口为真空
00

检查计算本身

最大归一化漂移
00
最大步长加密差
00

每个小区间在中点处用精确的幺正指数推进。把 4,800 步和 9,600 步的结果在 1,201 个共同位置上比较；差值用来判断是否收敛，不能保证误差大小。CSV 保留全部 9,601 个位置；曲线很密时，每一列像素显示该列采样的最小值和最大值。

约定、模型边界与来源

北极是电子味，南极是另一种活性味。布洛赫坐标表示振幅，不是真实空间里的方向。金色是去迹哈密顿量的归一化轴。双味质量平方差取正；反中微子的带电流物质势符号相反，这个实数双味模型没有 CP 相位。换介质时会重新计算入口本征态；真空对照始终用完全相同的入口态。

这里的密度是质量密度乘每个核子的电子数。下降剖面是平移过的指数，跨四个数量级，在出口处正好降到零。“太阳式”只指形状和示例参数，不是拟合的太阳密度。恒定密度在出口处突然撤掉，绝热真空出口参考不适用。没有计算吸收，也没有模拟探测采样。

阅读 MSW 的故事 →回到真空传播 →

物理教程

介质改变基底，总概率没有消失

背景相干前向散射给电子味额外加了一个物质势。密度一变，局部哈密顿量的轴就跟着转；量子态可能跟得上，也可能跟不上。

为什么值得理解太阳里的味转换和地球里的物质效应，背后都是这个机制。这里用给定的双味密度剖面单独展示它，不涉及探测器，也不用真实的密度模型。

先抓重点

核心问题
入口处的本征态几乎是纯电子味；在没有任何吸收的情况下，它出来时能几乎全变成另一种味道吗？
一句话直觉
密度变得够慢，量子态就一直待在同一个局部本征态上，而这个本征态的味道成分在变。光是经过共振，并不保证发生味转换。

核心数学模型

双味演化方程

iℏc dψdx=[Δm24E(−cos⁡2θsin⁡2θsin⁡2θcos⁡2θ)+V2(100−1)]ψi\hbar c\,\frac{d\psi}{dx}=\left[\frac{\Delta m^2}{4E}\begin{pmatrix}-\cos 2\theta&\sin 2\theta\\\sin 2\theta&\cos 2\theta\end{pmatrix}+\frac{V}{2}\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\right]\psi

第一个分量是电子味，第二个是另一种活性味。两者共有的相位已经去掉。内部计算中，距离以千米计，能量以 eV 计，正的质量平方差以 eV 平方计。

电子产生的物质势

V=2GFNe≃7.6324×10−14 eV ρYeg cm−3V=\sqrt{2}G_F N_e\simeq 7.6324\times10^{-14}\,\mathrm{eV}\,\frac{\rho Y_e}{\mathrm{g\,cm^{-3}}}

式中的密度量是质量密度乘以每个核子对应的电子数。对反中微子，物质势反号。中性流项对两种活性味相同，不改变这个双味演化。

共振：局部混合最大的地方

2EV=Δm2cos⁡2θ,sin⁡22θm=(Δm2sin⁡2θ)2(Δm2cos⁡2θ−2EV)2+(Δm2sin⁡2θ)22EV=\Delta m^2\cos 2\theta,\qquad \sin^2 2\theta_m=\frac{(\Delta m^2\sin 2\theta)^2}{(\Delta m^2\cos 2\theta-2EV)^2+(\Delta m^2\sin 2\theta)^2}

质量平方差为正、混合角小于四十五度时，中微子在某个正密度处共振，这时金色演化轴与味轴垂直。没有混合时，两条能级正好相交，却没有非对角项把一种味道转成另一种。

出口后平均的味概率

P‾e=p1cos⁡2θ+p2sin⁡2θ,p1+p2=1\overline{P}_e=p_1\cos^2\theta+p_2\sin^2\theta,\qquad p_1+p_2=1

把出口处的态投影到真空质量态上，再丢掉它们的相对相位。这和最后位置上的相干电子味概率不是一回事。另外显示的绝热参考，假设量子态一路缓慢跟随，直到进入真空。

常见难点

布洛赫球不是粒子轨道

容易误解中微子在太阳里绕着球面转圈。

正确理解球面表示一个归一化的双分量量子态。它的坐标是两个振幅之间的相干项和两种味道的概率差，不是空间位置。

共振不是吸收

容易误解物质挡住了电子中微子，所以它们消失。

正确理解模型是厄米的，活性味的总概率守恒。物质改变的是相干演化，模型里没有吸收。

动手实验

  1. 01

    看罗盘转动

    选择太阳式渐变并回放，把位置拖过金色共振标记。

    你会看到： 密度下降时，金色演化轴在转。电子味概率在变，量子态始终保持归一。
  2. 02

    给量子态时间跟上

    比较缓慢穿越和突然穿越。两者都从同一个上方本征态出发，密度范围也相同。

    你会看到： 路程更长，同样的密度变化摊到更多千米上，每千米变得更慢。缓慢穿越时，量子态几乎一直留在上方本征态；突然穿越时做不到。
  3. 03

    把密度固定

    选择恒密度共振，检查概率与本征态曲线。

    你会看到： 局部混合接近最大，相干的味振荡一直持续。哈密顿量不变，本征态占据也不变。出口处介质突然消失，缓慢出口的参考值不适用。
  4. 04

    反转物质势

    回到太阳式渐变，勾选反中微子，再计算传播。

    你会看到： 在这里使用的正质量平方差和混合角下，正密度处的共振消失了。双味模型没有 CP 相位，所以物质造成的差异不等于发现了 CP 破缺。
  5. 05

    检验数值精度

    查看归一化和步长加密诊断，再导出整段演化轨迹。

    你会看到： 每一步都幺正，归一化不会出错；但把密度分段处理，仍会改变轨迹。步长比较只检验这一种数值近似，不能说明省略掉的物理。

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