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Sandbox Physics

光学 020 · 称一个孤立的黑洞

引力透镜望远镜

看不见的质量把背景光弯折，怎样从中称出它有多重？ 看它给背后的恒星造出的像。质量把恒星的光弯成两个像，分处一个圆环的内外，这个环叫爱因斯坦环，它的角大小随质量的平方根增大。量出两个像的间距和亮度，再加上距离，就能算出质量。2025 年，哈勃望远镜从这两个像给恒星的光带来的微小位移，称出了一个孤立、不发光的黑洞，约重 7 个太阳质量。

把黑洞拖过通向一颗恒星的视线：恒星变亮，分成两个像、一个环或两道弧，像隔多远就称出了黑洞的质量。

交互模型引力透镜望远镜
恒星看起来亮了多少倍—\text{—}
两个像的间距—\text{—}
恒星合起来的光偏移了多少—\text{—}
由像算出的质量—\text{—}
爱因斯坦半径—\text{—}
走过一个爱因斯坦半径的天数—\text{—}
透镜与恒星的视差之差—\text{—}
透镜离视线的距离—\text{—}
这次记录追踪的边缘点数—\text{—}

物理教程

称一个不发光的黑洞

背景2011 年 6 月 2 日，OGLE 和 MOA 两个巡天项目同时宣布：银河系中心方向的一颗星正在变亮。它最亮时是平时的 369 倍，前后亮了好几个月，可它前面什么也看不见。随后 Kailash Sahu 等人用哈勃空间望远镜对这颗星拍了 11 年，发现它在天上的位置也微微挪了一点。2025 年，他们定出这个看不见的透镜重 7.15 ± 0.83 个太阳质量，远在 1.52 kpc 之外：这是人类第一次找到一个没有伴星、单独存在的黑洞。

为什么值得理解单独的黑洞不发光，也不拉动任何我们能观察的东西。可是恰好位于它后方的恒星，光会被引力弯折，弯多少由质量决定。只要量得出这份弯折，不用看见黑洞，也能称出它的质量。

先抓重点

核心问题
背景恒星的增亮和它的像，怎样告诉我们一个看不见的透镜有多重？
一句话直觉
恒星的光从黑洞两侧绕过，在望远镜里成为两个像：一个在角半径为 θE\theta_{\mathrm{E}} 的圆外面，一个在圆里面，这个半径叫爱因斯坦半径。对 OGLE-2011-BLG-0462，它是 5.5 mas，相当于从 700 km 外看一枚硬币的宽度。两个像到透镜的距离相乘，总是等于 θE2\theta_{\mathrm{E}}^{2}，而 θE2\theta_{\mathrm{E}}^{2} 与质量成正比，所以有了像，再知道距离，就能算出质量。

核心数学模型

爱因斯坦半径随质量的平方根增大

θE=κMπLS,κ=4Gc2 AU=8.144 masM⊙πLS=1 AU(1DL−1DS)\begin{gathered}\theta_{\mathrm{E}}=\sqrt{\kappa M\pi_{\mathrm{LS}}},\quad\kappa=\frac{4G}{c^{2}\,\mathrm{AU}}=8.144\,\frac{\mathrm{mas}}{M_{\odot}}\\\pi_{\mathrm{LS}}=1\,\mathrm{AU}\left(\frac{1}{D_{\mathrm{L}}}-\frac{1}{D_{\mathrm{S}}}\right)\end{gathered}

质量为 MM、距离为 DLD_{\mathrm{L}} 的透镜挡在距离为 DSD_{\mathrm{S}} 的恒星前面，三者对齐时，恒星的光被弯成角半径为 θE\theta_{\mathrm{E}} 的环。πLS\pi_{\mathrm{LS}} 是透镜与恒星的视差之差。反过来，M=θE2/(κπLS)M=\theta_{\mathrm{E}}^{2}/(\kappa\pi_{\mathrm{LS}})：Sahu 等人（2025）就是用 θE=5.496 mas\theta_{\mathrm{E}}=5.496\,\mathrm{mas} 和光变曲线里量出的视差算出质量的。

点质量后面的恒星总有两个像

β=θ−θE2θθ±=β±β2+4θE22,θ+θ−=−θE2\begin{gathered}\beta=\theta-\frac{\theta_{\mathrm{E}}^{2}}{\theta}\\\theta_{\pm}=\frac{\beta\pm\sqrt{\beta^{2}+4\theta_{\mathrm{E}}^{2}}}{2},\quad\theta_{+}\theta_{-}=-\theta_{\mathrm{E}}^{2}\end{gathered}

恒星在离透镜 β\beta 的角度上，它的像出现在满足透镜方程的角度 θ\theta 处。解总有两个：θ+\theta_{+} 在爱因斯坦环外、恒星同侧，θ−\theta_{-} 在环内、另一侧。恒星正好在透镜后方时，四面八方都满足方程，两个像连成一个环。

亮度和亮度比

A=u2+2uu2+4,u=βθEr=A+∣A−∣=(θ+θ−)4  ⇒  θE=Δθr1/4+r−1/4\begin{gathered}A=\frac{u^{2}+2}{u\sqrt{u^{2}+4}},\quad u=\frac{\beta}{\theta_{\mathrm{E}}}\\r=\frac{A_{+}}{\lvert A_{-}\rvert}=\left(\frac{\theta_{+}}{\theta_{-}}\right)^{4}\;\Rightarrow\;\theta_{\mathrm{E}}=\frac{\Delta\theta}{r^{1/4}+r^{-1/4}}\end{gathered}

弯折把每个像拉长，却不改变它的表面亮度，所以像越大越亮。AA 是点状恒星离透镜 uu 个爱因斯坦半径时的总增亮倍数，uu 越小，它越大，没有上限。只要量出两个像的亮度比 rr 和间距 Δθ\Delta\theta，不知道暗透镜在哪里，也能求出 θE\theta_{\mathrm{E}}。

恒星的光看起来挪了位置

δ=uu2+2 θE,δmax⁡=θE22 at u=2\delta=\frac{u}{u^{2}+2}\,\theta_{\mathrm{E}},\qquad\delta_{\max}=\frac{\theta_{\mathrm{E}}}{2\sqrt{2}}\ \text{at}\ u=\sqrt{2}

两个像靠得太近、分辨不开时，它们合起来的光仍然偏离恒星的真实位置 δ\delta（Sahu 等人 2022，式 6）。它在 u=2u=\sqrt{2} 处最大，那时增亮早已退去；它与 θE\theta_{\mathrm{E}} 成正比。哈勃测的就是这个位移。

常见难点

黑洞本身根本看不见

容易误解像里显示的是黑洞本身，被弯折的光勾出了轮廓。

正确理解像里的光全都来自背景恒星，黑洞只是让它弯折。7 个太阳质量的黑洞本身只有约 21 km 大，远远显示不出来；Sahu 等人也没有探测到透镜发出的光。

变亮不是因为离我们更近

容易误解恒星变亮，是因为透镜把它拉近了，或者像放大镜一样把光聚到一点。

正确理解恒星哪儿也没去。它的像绕着透镜被拉长，而弯折不改变表面亮度，像越大，带来的光就越多。增亮多少，只取决于透镜离视线有几个爱因斯坦半径。

只看光变曲线称不出质量

容易误解事件持续多久，就说明透镜有多重。

正确理解273 天的时间尺度，是爱因斯坦半径除以透镜和恒星在天上相对移动的速度，而这个速度事先并不知道。像的大小，或者像的光的位移，才直接给出爱因斯坦半径；再加上距离或视差，才得到质量。

两像公式要求恒星很小

容易误解不管恒星多大，间距和亮度比都能给出准确的质量。

正确理解这个公式对点状恒星是精确的。恒星大到占爱因斯坦半径的相当一部分时，像变成弧，光心移动，公式就会偏：在“两道弧”预设里低了 9 %。完整的环则可以从内外两条边重新得到半径。

动手实验

  1. 01

    看两个像

    保持默认预设“一颗星，两个像”。

    你会看到： 天空图里，恒星分成两个像：外侧像在它真实位置的外面，较暗的内侧像在黑洞另一边，两者相隔 11.0 mas。合起来，它们比恒星本身亮 4.63 倍；由间距和亮度比算出 7.15 个太阳质量。
  2. 02

    把黑洞拖过视线

    在场景里横向拖动黑洞，或者移动日期滑块。

    你会看到： 越靠近视线，两个像越亮，间距也缩向爱因斯坦环的直径 11.0 mas。光变曲线、位移图和间距图的游标都跟着移动。
  3. 03

    看最亮的时刻

    载入“最接近时：亮了约 370 倍”。

    你会看到： 恒星亮了 370 倍，与 2011 年记录的 369 倍很接近。两个像几乎落在爱因斯坦环上，分处两端，合起来的光又回到恒星的真实位置：位移只有 0.007 mas。
  4. 04

    在后面放一颗大恒星

    载入“大恒星正对后方：爱因斯坦环”。

    你会看到： 一颗半径是太阳 1000 倍的恒星正对黑洞后方时，两个像连成一个直径 11.0 mas 的环，亮了 16.8 倍。恒星越大，峰值增亮越小，因为它各部分离透镜的远近不同。
  5. 05

    让大恒星稍微错开

    载入“稍微错开：两道弧”。

    你会看到： 环断成两道弧。弧的光心不再在点状恒星的像所在的位置，两像公式读出 6.49 个太阳质量，低了 9 %。
  6. 06

    换成中子星

    载入“换成中子星：环更小，事件更短”。

    你会看到： 1.4 个太阳质量时，爱因斯坦环半径是 2.43 mas，两个像相隔 5.0 mas，事件走过一个爱因斯坦半径只要 121 天。2022 年有一个团队把透镜定在 1.6 到 4.4 个太阳质量之间，认为它多半是中子星或轻的黑洞；后来哈勃的新图像支持约 7 个太阳质量的黑洞。

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