从弯折光线走到两幅恒星像

先把距离与角度说清楚

从观察者向远处看，透镜平面距离为 $D_L$ ，光源平面距离为 $D_S$ ，两平面相隔 $D_{LS}$ 。距离都取正。在银河系内的近距离几何里，最后一个长度就是前两个距离之差。涉及宇宙学透镜时，需要改用合适的角直径距离。

角度从透镜所在的方向量起。恒星本来的方向记为 $\beta$ ，看到的像记为 $\theta$ 。先沿着穿过透镜的一条直线讨论，向右为正；即使恒星在右边，左边仍可有负角度的像。

一束光从紧致质量 $M$ 旁边经过，最近距离为 $b$ 。广义相对论在弱引力、光路远离引力半径时给出下面的弯折角。 $G$ 是引力常数， $c$ 是光速。这里把它当作几何计算的物理输入。

\widehat\alpha=\frac{4GM}{c^2b},\qquad b\simeq D_L|\theta|.

经过得越近，光转向越多。小角度近似把角位置换成透镜平面上的距离。

从望远镜沿看到的方向反向追踪光线：先到透镜平面，再沿弯折后的方向走到恒星。相似三角形把光源平面上的横向位移与弯折角联系起来。薄透镜近似把整段引力弯折放在一个平面处理，真实引力场则沿光路分布。

\beta=\theta-\frac{D_{LS}}{D_S}\frac{4GM}{c^2D_L\theta}.

分母保留角度的正负号，两侧的弯折便都指向透镜。

把质量与距离合成一个角尺度 $\theta_E$ ，称作爱因斯坦半径。恒星、透镜与观察者恰好对准时，像环的角半径就是它。“半径”在这里是角度。

\theta_E^2=\frac{4GM}{c^2}\frac{D_{LS}}{D_LD_S},\qquad u=\frac{\beta}{\theta_E},\quad x=\frac{\theta}{\theta_E}.

所有角度都除以同一个尺度，方程就只剩无量纲的几何。

u=x-\frac1x,\qquad x^2-ux-1=0,\qquad x_\pm=\frac{u\pm\sqrt{u^2+4}}2.

二次方程给出一正一负两个根，两幅像分别来自透镜两侧。

设爱因斯坦半径为 $1.00\,\mathrm{mas}$ ，恒星偏离透镜方向 $0.500\,\mathrm{mas}$ 。这里一毫角秒等于一角秒的千分之一。光源的无量纲偏移是二分之一，代进二次方程得到

x_+=1.28078,\qquad x_-=-0.780776.

一幅像在右侧1.28078毫角秒处，另一幅在左侧0.780776毫角秒处。

两幅像共隔 $2.06155\,\mathrm{mas}$ ，比两倍爱因斯坦半径略大。用一般结果 $\theta_E\sqrt{u^2+4}$ 再检查一遍：光源越接近正对方向，两像间距越接近两倍爱因斯坦半径。

恰好正对时，穿过透镜的直线没有哪个方向更特殊，各方向的解连成理想环。真实星盘会填出一片有面积的环带。下一章再把整张星盘的光加起来。

在恒星上取一小块长方形。透镜沿径向和沿环的方向，把它拉伸得不一样。导数在这里表示局部比例：像平面上挪一小段，光源平面会跟着挪多少。两个互相垂直方向的比例相乘，就是带方向的面积比。

\lambda_r=1+\frac1{x^2},\qquad\lambda_t=1-\frac1{x^2},\qquad J=\lambda_r\lambda_t=1-\frac1{x^4}.

这两个比例表示光源面积相对于像面积的变化，乘积叫作Jacobian行列式。

带符号的放大率是 $1/J$ 。符号只记录朝向。负号表示像被镜像翻转，并不是负的光量。望远镜收到的贡献要取绝对值，两幅像再相加：

A(u)=\frac{u^2+2}{|u|\sqrt{u^2+4}}.

这是偏移不为零的点光源结果；有限星盘需要另作面积积分。

上面的例题中，外侧像贡献 $1.59141$ ，内侧镜像贡献 $0.591410$ ，总增亮是 $2.18282$ 倍。把光源移得很远，增亮倍数会趋近一。这个极限能帮助检查计算。

爱因斯坦半径同时包含质量与距离。质量增大，像环变大；改变 $D_LD_S/D_{LS}$ ，同一个角尺度也会对应另一份质量。像的位置或合光中心的偏移，首先给出质量与距离之间的关系。

光变的时间尺度还引入相对角速度 $\mu_{\mathrm{rel}}$ ，两者满足 $t_E=\theta_E/\mu_{\mathrm{rel}}$ 。角环较小但运动较慢的透镜，也能和角环较大、运动较快的透镜持续一样久。第三章会用光源大小与视差补上尺度。

读一个观测量时，先问它直接量到了什么。像的位置是角几何；时长是一份角尺度除以速度。补足剩下的信息，才轮到物理单位下的质量。