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Sandbox Physics
暗行星怎样弯曲星光

AC23 · L3

一条光变曲线能告诉我们多少透镜信息

Sandbox Physics ·

采样充分的光变可以透露伴星质量比、投影间距，以及星盘怎样走过焦散。绝对质量还需要额外信息。先从每一台望远镜实际测到的光开始，把始终近乎恒定的混光也算进去。

先预测每台望远镜收到的光

对第kk台望远镜，Fs,kF_{s,k}是背景恒星未被放大时的光通量，Fb,kF_{b,k}是其他分不开的天体贡献的恒定光。用上一章按曝光平均的放大率，就有

Fk(t)=Fs,k⟨A⟩(t)+Fb,k.F_k(t)=F_{s,k}\langle A\rangle(t)+F_{b,k}.
透镜先放大背景恒星，其他光再按这台望远镜自己的光通量尺度相加。

除以基线光量Fs,k+Fb,kF_{s,k}+F_{b,k}，再定义光源占比fk=Fs,k/(Fs,k+Fb,k)f_k=F_{s,k}/(F_{s,k}+F_{b,k})，得到

Aap,k(t)=1+fk[⟨A⟩(t)−1].A_{\mathrm{ap},k}(t)=1+f_k[\langle A\rangle(t)-1].
这个量描述整个测光范围比事件前亮了多少。

例题中，背景恒星原本贡献70份光，另一颗星贡献30份。透镜把背景恒星放大四倍，望远镜便收到70×4+30=31070\times4+30=310份光。总增亮为3.103.10倍，恒星本身却亮了四倍。若把全部基线光都当作会被放大的光，拟合就会用别的事件几何来补偿。

对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1

采用观测给出的误差模型

五文件练习提供仪器星等和报告误差。星等是光通量的对数尺度。每台望远镜有一个未知的基线星等，决定它自己的零点；光源占比则决定事件在恒定混光上显得多明显。

mk(t)=m0,k−2.5log⁡10{1+fk[⟨A⟩(t)−1]}.m_k(t)=m_{0,k}-2.5\log_{10}\{1+f_k[\langle A\rangle(t)-1]\}.
基线星等与混光属于各台望远镜，透镜几何则由它们共同拟合。

设报告的星等误差σi\sigma_i是相互独立的高斯标准差。实测星等为mim_i，模型预测为m^i(ϑ)\widehat m_i(\vartheta)，归一化似然为

L(ϑ)=∏i12πσiexp⁡ ⁣[−(mi−m^i(ϑ))22σi2].\mathcal L(\vartheta)=\prod_i\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma_i}\exp\!\left[-\frac{(m_i-\widehat m_i(\vartheta))^2}{2\sigma_i^2}\right].
参数包括共同的运动与光源几何，也包括各台望远镜的基线和混光。

同一批数据、同一组固定误差下，最大化似然等价于最小化χ2=∑i[(mi−m^i)/σi]2\chi^2=\sum_i[(m_i-\widehat m_i)/\sigma_i]^2。把预测星等减去实测星等，再除以报告误差，就得到这里使用的标准化残差。按望远镜分别看残差，能发现总分里不显眼的局部问题。

大气或仪器误差若彼此相关，就需要协方差模型。独立复算中把未知协方差取零，原样保留报告误差。若为每个竞争模型分别缩放误差、硬把约化卡方拉到同一个值，原本要比较的差别也会被抹掉。

对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 · Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods

最低点旁边还有别的路

数值优化会沿着附近变好的方向走。一段很窄的行星特征，可能把不同初值引进不同谷底。需要从几种间距、质量比和运动方向出发，把较差或失败的解也留下，并让所有模型使用完全相同的观测。

想知道质量比qq能改变多少，就固定它，再让其余参数重新拟合。这条剖面写成

χprof2(q)=min⁡other parametersχ2(q,…).\chi^2_{\mathrm{prof}}(q)=\min_{\text{other parameters}}\chi^2(q,\ldots).
剖面中，其他参数可以补偿这次变化；把它们全固定后只切一刀，回答的是更窄的问题。

近分离与远分离双透镜有时能给出相似的光变，但几何名字并不保证每次事件都有两份同样好的解。光源大小、混光和观察者轨迹改变，都可能挪动它们各自的拟合质量。

若要得到贝叶斯后验，还要给出先验p(ϑ∣d)∝L(ϑ) π(ϑ)p(\vartheta\mid d)\propto\mathcal L(\vartheta)\,\pi(\vartheta)。对参数本身取均匀先验，与对其对数取均匀先验，代表不同的分布。比较整个模型时，需要正规化的先验和相应体积因素。卡方改善描述似然的变化，尚未把整个模型的可能性积分起来。

对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025) · Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1

从有限星盘读出一只时钟

拟合得到的星盘半径为ρ=θ∗/θE\rho=\theta_*/\theta_E，其中θ∗\theta_*是恒星本身的角半径。若相对角速度为μrel\mu_{\mathrm{rel}}，则

tE=θEμrel,t∗=ρtE=θ∗μrel.t_E=\frac{\theta_E}{\mu_{\mathrm{rel}}},\qquad t_*=\rho t_E=\frac{\theta_*}{\mu_{\mathrm{rel}}}.
源半径穿越时间是一只几何时钟；整段异常有多宽，还取决于焦散形状和穿越角度。

合成例题取tE=10.0 dt_E=10.0\,\mathrm d、ρ=0.0400\rho=0.0400，得到t∗=0.400 dt_*=0.400\,\mathrm d。运动不变时，星盘放大会延长这只时钟；斜着穿过焦散也会改变异常宽度，不能把宽度直接当作星盘直径。

若独立的恒星资料给出θ∗=1.00 μas\theta_*=1.00\,\mu\mathrm{as}，光变给出ρ=0.0100\rho=0.0100，便可算出θE=0.100 mas\theta_E=0.100\,\mathrm{mas}。恒星角半径本身的误差，也必须进入这个角尺度的误差。

对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 · Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science

观察者的运动再提供一个尺度

地球在事件期间也在运动。先减去参考时刻的位置和直线运动，再把剩余位移投影到北、东方向，记为ΔsN,ΔsE\Delta s_N,\Delta s_E。这里已经除以一天文单位，所以两个分量都是无量纲数。

定义沿光源相对透镜运动方向的视差向量(pN,pE)(p_N,p_E)。它在轨迹坐标中引入

δτ=pNΔsN+pEΔsE,δβ=pNΔsE−pEΔsN.\delta\tau=p_N\Delta s_N+p_E\Delta s_E,\qquad\delta\beta=p_N\Delta s_E-p_E\Delta s_N.
前一项改变沿轨迹的进程，后一项改变横向偏移。公式同时明确了正负号约定。

向量长度πE=pN2+pE2\pi_E=\sqrt{p_N^2+p_E^2}等于透镜与光源的相对三角视差除以爱因斯坦半径。相隔较远的两位观察者能看到不同轨迹；若只从地面看一次很短的事件，地球那一小段运动近似直线，周年视差就可能很弱。

θE2=κMπrel,πE=πrelθE,M=θEκπE.\theta_E^2=\kappa M\pi_{\mathrm{rel}},\qquad\pi_E=\frac{\pi_{\mathrm{rel}}}{\theta_E},\qquad M=\frac{\theta_E}{\kappa\pi_E}.
有限光源给出的角尺度，再配上测得的微透镜视差，便能换算物理质量。这里κ≃8.144 mas M⊙−1\kappa\simeq8.144\,\mathrm{mas}\,M_\odot^{-1}。

沿用上面的合成θE=0.100 mas\theta_E=0.100\,\mathrm{mas}，若另测得πE=0.200\pi_E=0.200，质量约为0.0614 M⊙0.0614\,M_\odot。缺少视差时，还会留下一族质量与距离的组合。只要相对角速度按比例改变，不同角环大小也能对应同一事件时长。

对应阅读：Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science · JPL Horizons vector ephemeris documentation

回到这次事件究竟测到了什么

先找反复出现的信号：几台独立望远镜看到同一异常，换一组初值仍能找到相近拟合。再改变星面亮度与曝光，检验有限星盘留下的形状。它们分别补上推断中不同的一环。

OGLE-2005-BLG-390原分析用银河系模型，把几何测量换成可能的物理质量分布。后面论文导读中的地面与Gaia联合事件，则用有限光源和地空视差补上角度、距离尺度。把两种做法并排看，就能明白一次短促增亮为什么值得追查低质量透镜，以及绝对质量还需要哪些测量。

对应阅读：Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1 · Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science

练习与解释性答案

  1. 被透镜放大的恒星亮了五倍，但事件前只占总光量的四分之一。望远镜测得多少倍增亮？

    展开解释

    总增亮为1+0.25(5−1)=21+0.25(5-1)=2倍；剩下四分之三的基线光保持恒定。

  2. 事件时长的误差很小，是否表示质量误差同样小？还缺少什么量？

    展开解释

    关系tE=θE/μrelt_E=\theta_E/\mu_{\mathrm{rel}}里还含相对角速度；角尺度自身又混合了质量与相对视差。时长测得很精确，仍不能自动补齐这些尺度。

  3. 加上两个视差分量后，卡方只小幅改善。解释非零最佳值前，应先看什么？

    展开解释

    在同一份数据上比较零视差，检查似然剖面和参数边界，确认观察者坐标及时标约定，再看残差。即使包括零在内的一大片参数都仍可接受，优化器也会给出一个最佳值。

动手检验预测

把像的放大与总测光增亮分开

  1. 固定几何并暂停，降低背景光源占比。先算出整个测光范围会亮多少，再读结果。
  2. 保持爱因斯坦时间不动，改变光源半径。比较源半径穿越时间与整段异常宽度，解释两者分别表示什么。

来源与计算范围

  1. Beaulieu et al. (2006), OGLE-2005-BLG-390 discovery, astro-ph/0601563v1

    核读正文、表一与图一：有限星盘下的行星扰动、临边昏暗系数、原文的650个点及依赖银河系模型的物理质量。本教程独立重算的五文件子集有308个点。

  2. Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods

    第二至四节及式14–20、25–26讨论轮廓面积、误差细化和径向亮度分布。固定版本LGPL代码只作为另行下载的离线参考。

  3. Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

    先读式1–16和第六节，再判断双透镜的根、奇偶性、临界曲线与漏掉的像对。这里核读方法，没有复现其整套性能基准。

  4. Dong et al., A Saturn-mass microlensing object, arXiv:2601.00057v1; Science

    固定作者版本的图二与补充S5–S11：有限光源尺度、地面与Gaia视差、替代混光模型及解的权重。arXiv标明已发表于Science。导读逐项读证据，没有重跑这次事件。

  5. JPL Horizons vector ephemeris documentation

    练习保留固定的161节点DE441地球几何ICRF矢量：位置为天文单位、速度为天文单位每天，历元为TDB。无文件头的测光仍另行保留时标说明。

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