一张星盘穿过焦散时发生什么

把两处质量放在同一张角位置图上

角度统一除以总质量 $M=M_1+M_2$ 对应的爱因斯坦半径。质量比记为 $q=M_2/M_1$ ，归一化质量为 $m_1=1/(1+q)$ 和 $m_2=q/(1+q)$ ，两者间距为 $s$ 。质心放在原点，双透镜轴沿水平方向。

a_1=-m_2s,\qquad a_2=m_1s,\qquad m_1+m_2=1.

较轻的伴星离质心较远。移动它时，主星也要相应移动，质心才会保持不动。

像的位置需要两个坐标，可以合写成复数 $z=x+iy$ ，其中 $i^2=-1$ 。共轭 $\overline z=x-iy$ 只把竖直坐标反号。复数在这里是平面坐标的简写，没有多出一个物理维度。

把光源方向记为 $\zeta=\xi+i\eta$ ，两处引力弯折相加，得到

\zeta=z-\frac{m_1}{\overline z-a_1}-\frac{m_2}{\overline z-a_2}.

每一项都指向对应的质量，大小随角距离的倒数变化。

例如 $1/(\overline z-a)=[(x-a)+iy]/[(x-a)^2+y^2]$ 。实部与虚部，就是水平与竖直两个弯折分量。程序完全可以始终用两个实数来算。

对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

一对新像在哪里出现

把像平面上的一小块正方形放进同一映射。一般位置会得到光源平面上的一小块区域；某些特殊方向上，映射会把一个局部方向压扁，带符号的面积比降到零。这样的像方向连成临界曲线。

J(z)=1-\left|\frac{m_1}{(z-a_1)^2}+\frac{m_2}{(z-a_2)^2}\right|^2.

两处弯折的局部梯度合在一起，决定面积怎样改变。

再把临界方向代回透镜方程，得到的光源方向就是焦散。一般双透镜可以形成三幅或五幅物理像。光源越过一段普通的折叠焦散，会生出或消失一对像，朝向一正一反。总光量要把每一幅像的 $|1/J|$ 相加。

点光源恰好落在焦散上，理想放大率会发散。这提示我们该换成有面积的恒星。星盘覆盖一片光源方向，把相应像面积积分后，增亮便是有限的。

对应阅读：Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025) · Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods

把像上的表面亮度加起来

设光源角半径为 $\rho$ ，中心在 $\zeta_c$ 。离中心 $r$ 处的表面亮度为 $I(r)$ ，使用固定但任意的辐亮度单位。积分就是把许多小块贡献相加， $d^2z$ 表示像平面的一小块面积。

A_{\mathrm{FS}}(\zeta_c)=\frac{\displaystyle\int_{\text{all images}} I\!\left(|\zeta(z)-\zeta_c|\right)\,d^2z}{\displaystyle\int_{\text{source disk}} I(r)\,d^2\zeta}.

把像平面的小块反向映回恒星；只有落在星盘内的部分才贡献光。

若星盘均匀发亮，表面亮度会约去，放大率就是全部像面积除以原星盘面积。这样可以直接求光量，不必在一对像刚出生时，把新的边缘误接到原来的某一条边上。

数值图像也能沿用这些面积贡献。一块计算单元横跨几个显示像元，就按实际重叠面积分光。把网格中储存的线性辐亮度加起来，应当回到测光总量，存储舍入误差另行计算。显示时可以增强对比，帮助看清暗像；若要从颜色做测光，就要先把显示变换还原。图像变细与光量积分变细，共用同一份成像结果。

对应阅读：Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods · Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

给星面亮度一个已知的平均值

用 $\mu=\sqrt{1-r^2/\rho^2}$ 表示星面位置，中心为一，边缘为零。设整张星盘的平均表面亮度为 $\overline I$ ，临边昏暗参数满足 $0\le\Gamma\le1$ ，可以采用下面的线性模型。

I(r)=\overline I\left[1-\Gamma+\frac32\Gamma\sqrt{1-\frac{r^2}{\rho^2}}\right].

参数为零时星盘均匀；参数为一时边缘变暗至零，中心亮度是平均值的1.5倍。

检查归一化时，把星盘分成细圆环。半径 $r$ 、宽度 $dr$ 的圆环面积是 $2\pi r\,dr$ 。平方根那一项的面积平均值为三分之二，整个括号的平均值便是一。

\int_0^\rho I(r)\,2\pi r\,dr=\pi\rho^2\overline I.

调临边昏暗是在星盘内重新分配亮度，未受透镜影响时的总光量保持不变。

有些软件输入的是另一种线性系数 $a$ 。要描述同一张归一化星盘，两者应满足 $a=3\Gamma/(2+\Gamma)$ 。把一种系数直接填进另一种系数的位置，会改变被计算的恒星。

对应阅读：Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods

先算出一个能独立检查的环

让均匀星盘正对一个点质量透镜。把星盘圆周代进上一章的两根公式，会得到一条外边界和一条内边界，围成环带：

r_{\mathrm{out}}=\frac{\sqrt{\rho^2+4}+\rho}{2},\qquad r_{\mathrm{in}}=\frac{\sqrt{\rho^2+4}-\rho}{2}.

这里两条边界围住的是同一个环状像。

A_{\mathrm{aligned}}=\frac{r_{\mathrm{out}}^2-r_{\mathrm{in}}^2}{\rho^2}=\frac{\sqrt{\rho^2+4}}{\rho}.

外圆面积减去空心面积，再除以原星盘面积。

若 $\rho=0.100$ ，增亮为 $20.0250$ 倍。点光源在正对方向的结果虽然发散，有限星盘的环带面积却可以直接算。

再看双透镜例题：固定 $s=1.20$ 、 $q=0.00300$ 、 $\Gamma=0.538$ ，让光源沿横坐标 $0.366667$ 的竖直路线走，在 $(t-t_0)/t_E=0.0200$ 时比较。光源半径取 $0.0400,\ 0.0800,\ 0.150$ 时，同一像面积计算分别给出 $A=3.90,\ 3.56,\ 3.17$ 。这是一组光源中心相同的合成计算。

在这个高放大特征附近，较大星盘把更宽的一片方向混合起来，整条光变也显示起伏被摊宽。它并不意味着恒星在任何位置变大都会更暗；在某些位置，扩大星盘反而会纳入刚被强烈放大的方向。

$\rho=0.04$
$\rho=0.08$
$\rho=0.15$

自有合成计算，透镜与轨迹完全相同。横轴：

(t-t_0)/t_E

；纵轴为光源放大率。183个状态分别对有限星盘积分，连线只连接采样状态，没有为所有中间时刻提供误差界。

对应阅读：Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods

沿着运动轨迹平均一次曝光

光源可沿直线 $\zeta_c(t)=e^{i\alpha}[(t-t_0)/t_E+iu_0]$ 运动。 $\alpha$ 让路线相对双透镜轴转动；带符号的 $u_0$ 给出路线到质心的最近距离， $t_E$ 则设定运动的时间尺度。

\langle A\rangle(t)=\frac1{\Delta t}\int_{t-\Delta t/2}^{t+\Delta t/2} A_{\mathrm{FS}}\!\left(\zeta_c(t^\prime)\right)\,dt^\prime.

矩形曝光窗口把这段时间内移动的像取平均；曝光趋近零时回到瞬时值。

图像也按同一组正的时间权重平均，就能得到被运动抹开的像，总光量仍与测光预测一致。给算好的曲线任意套一个平滑滤镜，便失去了这层成像联系。

互动模型采用静止暗双透镜、直线运动和几何光学，星面亮度与曝光窗口都有明确设定。后面的离线事件练习会再加入观察者位置随地球运动而改变的影响。

对应阅读：Bozza et al. (2018), VBBinaryLensing finite-source methods · Bozza et al., VBMicroLensing, arXiv:2410.13660v1; A&A 694 A219 (2025)

一张星盘穿过焦散时发生什么

把两处质量放在同一张角位置图上

一对新像在哪里出现

把像上的表面亮度加起来

给星面亮度一个已知的平均值

先算出一个能独立检查的环

沿着运动轨迹平均一次曝光

练习与解释性答案

动手检验预测

预测扩展星盘怎样改变穿越

来源与计算范围