冷却为什么需要一只记得住光的腔

先算取走与添回声子的机会

令增强耦合为 $g$ ，腔能量线宽为 $\kappa$ ，机械角频率为 $\Omega_m$ ，有效失谐仍是激光频率减腔频率。弱耦合时，腔响应先建立，机械能量再缓慢改变。用腔在两条边带处的响应，得到每个声子的冷却系数 $A_-$ 与加热系数 $A_+$ 。

若已有 $n$ 个声子，向下跃迁率为 $nA_-$ ，向上跃迁率为 $(n+1)A_+$ 。最后那个加一允许基态也被 Stokes 散射激发。这是冷却后仍可能留下运动的量子原因。

A_- = \frac{g^2\kappa}{(\kappa/2)^2+(\Delta+\Omega_m)^2},\qquad A_+ = \frac{g^2\kappa}{(\kappa/2)^2+(\Delta-\Omega_m)^2}

速率单位均为每秒。条件包括单模、弱耦合、稳定工作点与可作白噪声处理的光学输入。

原文位置：Marquardt et al. · Aspelmeyer

把光学浴与原来的热浴一起算

机械本来还以速率 $\Gamma_m$ 与温度 $T$ 的热浴交换能量。热平衡占据数是 $n_{\rm th}$ 。将每种跃迁引起的声子数变化相加，光的净阻尼为两条系数之差。稳态则是总加热除以总阻尼。

最终温度由竞争决定。光学冷却很强时，原来热浴的影响下降；但 Stokes 通道留下光学浴自己的温度。腔太宽，两条边带都能通过，反向添回的声子就很难压低。

\begin{aligned}\dot{\bar n}&=-(\Gamma_m+A_--A_+)\bar n+\Gamma_m n_{\rm th}+A_+,\\ n_{\rm ss}&=\frac{\Gamma_m n_{\rm th}+A_+}{\Gamma_m+A_--A_+},\qquad n_{\rm th}=\frac1{e^{\hbar\Omega_m/(k_BT)}-1}.\end{aligned}

只有总阻尼为正，才有可达到的线性稳态。分子中的 Stokes 项即使零温也存在。

完整例题先求极限，再看热泄漏

把所有速率除以 $\Omega_m$ ，取 $\Delta/\Omega_m=-1$ 、 $\kappa/\Omega_m=0.2$ 、 $g/\Omega_m=0.03$ 、 $\Gamma_m/\Omega_m=0.001$ 和 $n_{\rm th}=10$ 。反 Stokes 系数为 $0.018\Omega_m$ ，Stokes 系数为 $4.49\times10^{-5}\Omega_m$ 。

总阻尼为 $0.018955\Omega_m$ ；把加热分子 $0.0100449\Omega_m$ 除过去，得 $n_{\rm ss}=0.530$ 。相同腔宽的纯光学浴极限只有 $0.0025$ 。实际例子离这个极限很远，是因为原热浴仍不断送入声子。

增加驱动能减少热泄漏的相对份额，但速率模型要求增强耦合足够小。进入光与机械相干交换能量的范围后，需要求完整的耦合动力学，不能把这个简单稳态公式继续外推。

n_{\rm opt}=\frac{A_+}{A_--A_+}=\left(\frac{\kappa}{4\Omega_m}\right)^2\quad(\Delta=-\Omega_m)

这是指定红边带失谐的光学浴占据数。它与含有限机械热浴的最终占据数不同。

蓝光把阻尼抵消之后

把失谐翻到蓝边带，向上跃迁更强。光给出的负阻尼先抵消机械损耗；继续增强，微小振动就会增长。线性模型在阈值以上报告的是增长率。

真实装置常会在较大振幅出现饱和或自振荡，那需要非线性腔响应、材料参数或其他损耗。仅把图中振幅截在屏幕边缘，并不能得到一个自振荡理论。遇到阈值时，应明确停在小信号增长的解释。

\Gamma_{\rm eff}=\Gamma_m+A_--A_+>0

正号给出可衰减的工作点；零为这一速率近似的阈值，负号意味着小扰动增长。

先预测，再改变、比较和解释

找出冷却先被什么限制

先预测窄腔和宽腔哪个更容易接近基态，再比较预设中的占据数和两条散射通道。
保持红失谐，逐步增加驱动，观察热浴贡献与反作用贡献，检查弱耦合提示。
转到蓝失谐，从低驱动开始接近阈值。用总阻尼解释这个工作点的运动会衰减还是增长。

练习与解释性答案

总阻尼为负时，代入稳态公式得到负声子数，怎样解释？

展开解释

这是线性稳态不存在的信号。能量微分方程的解会增长，不会趋近那个代数固定点。需要研究增长到大振幅后的非线性过程。

固定红边带失谐，腔线宽减半，光学浴占据数怎样变？实际占据数一定也减为四分之一吗？

展开解释

指定失谐的光学浴占据数减为四分之一。实际占据数还依赖冷却速率、机械阻尼与热占据；若原热浴贡献占主导，下降比例主要取决于热泄漏与净冷却的竞争。

继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

Aspelmeyer, Kippenberg & Marquardt, Cavity Optomechanics, arXiv:1303.0733v1 (2013); RMP 86, 1391 (2014)

固定 arXiv v1：II.1–II.2 的腔线宽与机械谱；III.1–III.3 的辐射压与线性化；V.2、VII.1 的动力学反作用和冷却；VI.1–VI.2 的测量与单正交分量读出；X.6 的非线性量子光力学。课程按自己的统一约定推导例题。这是综述，不是新增实验数据。

Marquardt et al., Quantum theory of cavity-assisted sideband cooling of mechanical motion, arXiv:cond-mat/0701416v1 (2007)

弱耦合下的力噪声跃迁率与分辨边带冷却极限。浏览器冷却切片采用单模弱耦合速率模型；强耦合的正常模劈裂需要完整耦合响应。