为什么照得更亮也会把镜子推得更乱

把位置和时间换成清楚的标度

令 $q=x/(\sqrt2x_{\rm zpf})$，其共轭动量记作 $p$，满足 $[q,p]=i$。基态的两个方差都是 $1/2$。时间取 $\tau=\Omega_mt$，频率 $\nu=\omega/\Omega_m$。后面的测量强度 $k$、阻尼 $\gamma$ 均按机械频率归一化。

连续测量页使用弱耦合振幅阻尼模型。热浴很快忘掉过去的扰动，这叫 Markov 近似。两个正交分量都缓慢衰减，热浴给两者同样大小的扩散。它适合单模高斯态；与第二章的粘性位置方程在高品质因子附近相接，但在远离共振处有不同的精确谱。

同一测量强度决定两种噪声

令 $\eta$ 是从振子到保存记录的总探测效率，取值不超过一。记录的微小增量 $dZ$ 包含位置随时间累积的信号与随机增量 $dW$。后者均值为零、方差为 $d\tau$，可以看成许多短时独立小涨落的极限。

定义 $R=1/(4\eta k)$ 后，位置等效读出噪声的双边谱就是 $R$；动量受到的白噪声力谱为 $k$。效率降低会丢信息，却不会撤回那些已经推过镜子的光子。

原文位置：Jacobs & Steck

把力噪声沿机械响应传回位置

令 $a=\gamma/2$。归一化动量方程中的力，经机械转动传到位置，其传递函数为 $\chi_{qF}(\nu)$。无反馈、共振相位读出、无额外相关噪声时，观测谱由热运动、反作用运动与读出底噪三项相加。

热噪声在这里与读出噪声独立。更一般的失谐测量、压缩输入或特别选择的读出相位，可能让不精确与反作用相关，和式就要加入交叉谱。标准量子极限是在指定测量方式下的极限，不是禁止一切改进的绝对墙。

原文位置：Aspelmeyer

算出最优值，也看清它在优化什么

固定频率，把新增噪声对 $k$ 求导。强度越大，反作用项线性增加；不精确项按倒数下降。导数为零时，两项相等。

完整例题：选定频率处 $|\chi_{qF}|=2$，效率为一。最优 $k=0.25$，两项各为一，总新增谱为二。若效率降到 $1/4$，最优强度变成 $0.5$，两项各为二，总新增谱为四。信息损失抬高了最低可达噪声。

这里最小化的是某个频率处的位移等效噪声。要估计一段波形、某个力脉冲或机械态，就需要把不同频率与全部记录一起使用。下一章从这个问题进入条件态。