一面会动的镜子怎样改变光

腔长选出能留下来的光

先把一面镜子固定，另一面装在弹性支撑上。光沿两镜中心连线传播，向外移动记为正。两镜间距变长，同样数量的半波长就要占满更长空间。允许的波长变长，频率随之下降。

设平衡腔长为 $L$ ，活动镜位移为 $x$ ，纵向模序数为整数 $j$ ，真空光速为 $c$ 。角频率 $\omega_c$ 用每秒弧度表示，与普通频率相差 $2\pi$ 。我们只跟踪一个纵向模，并令位移远小于腔长。

\omega_c(x)=\frac{j\pi c}{L+x}\simeq\omega_c(0)-Gx,\qquad G=\frac{\omega_c(0)}L>0

展开保留位移的一次项。正的频率拉动幅度乘位移，给出腔频率的下降量。

L

L+x

原创示意。右镜向外移动，驻波波长变长，共振频率下降。位移经过放大。

原文位置：Aspelmeyer

用光子能量算出推力

一个角频率为 $\omega_c$ 的光子有能量 $\hbar\omega_c$ 。若腔内有 $n$ 个光子，把腔的能量对位移求负导数，便得到沿正方向的力。镜子向外移动，光场能量下降，机械部分可以得到这份能量。

这和每次反射都改变光的动量是同一件事。用能量写法的好处是：读出所用的频移和镜子感到的推力，自动来自同一个耦合。腔内光子数会涨落，推力也会涨落。后面测得越清楚、推得越厉害的矛盾，就从这里开始。

H_{\rm int}=-\hbar Gxn,\qquad F_{\rm rad}=-\frac{\partial H_{\rm int}}{\partial x}=\hbar Gn

这里先固定光子数再求力。持续驱动的腔还要计算光子怎样流入、漏出。

原文位置：Marquardt et al.

给机械振动选一个自然长度

活动镜可以有许多振动形状。选定一个模后，用有效质量 $M$ 和机械角频率 $\Omega_m$ 描述它。有效质量与位移定义相配，不必等于整个支架的总质量。量子基态的位置方差定义零点位移 $x_{\rm zpf}$ ；把这一点位移引起的腔频移记为 $g_0$ 。

单光子耦合率是装置本身的量。往腔里灌进更多光，可以放大某些响应，却不会改变一面既定镜子的质量和单个光子的作用。下一步会把这种增强与装置本身的耦合分开。

完整例题：取 $L=1\,\mathrm{mm}$ 、波长 $\lambda=1064\,\mathrm{nm}$ 、 $M=10^{-12}\,\mathrm{kg}$ 和 $\Omega_m/(2\pi)=1\,\mathrm{MHz}$ 。先算出 $x_{\rm zpf}=2.90\,\mathrm{fm}$ ，再由 $G=2\pi c/(\lambda L)$ 得 $g_0/(2\pi)=817\,\mathrm{Hz}$ 。这个频移应当与腔线宽比较，才能判断一次光子作用是否容易分辨。

x_{\rm zpf}=\sqrt{\frac{\hbar}{2M\Omega_m}},\qquad g_0=Gx_{\rm zpf},\qquad x=x_{\rm zpf}(b+b^\dagger)

最后一个式子引入机械降低、升高算符。它们分别改变一个振动量子；后续章节才用到它们的运算。

先预测，再改变、比较和解释

先看镜子与腔怎样互相影响

先预测镜子向外移动时腔共振向哪边走。再拖动金色激光调谐盘，改变激光相对腔共振的位置，比较读出。
保持腔线宽，分别选择红失谐和蓝失谐的演示，观察镜子运动和出射光。把“镜子改变光”和“光改变镜子”各说成一句话。
装置中的位移经过示意放大。用例题中的飞米长度解释，为什么真实零点运动无法按比例画在屏幕上。

练习与解释性答案

镜子质量增加四倍，机械频率和腔长都不变，零点位移与单光子耦合怎样变？
展开解释
零点位移与质量平方根的倒数成正比，所以减半。频率拉动幅度不变，单光子耦合也减半。
把腔内平均光子数增加一百倍，单光子耦合也增加一百倍吗？
展开解释
单光子耦合不变；平均辐射压力增为一百倍。在后面的线性化模型中，增强耦合随光子数平方根增长，因此增为十倍。

继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

Aspelmeyer, Kippenberg & Marquardt, Cavity Optomechanics, arXiv:1303.0733v1 (2013); RMP 86, 1391 (2014)
固定 arXiv v1：II.1–II.2 的腔线宽与机械谱；III.1–III.3 的辐射压与线性化；V.2、VII.1 的动力学反作用和冷却；VI.1–VI.2 的测量与单正交分量读出；X.6 的非线性量子光力学。课程按自己的统一约定推导例题。这是综述，不是新增实验数据。
Marquardt et al., Quantum theory of cavity-assisted sideband cooling of mechanical motion, arXiv:cond-mat/0701416v1 (2007)
弱耦合下的力噪声跃迁率与分辨边带冷却极限。浏览器冷却切片采用单模弱耦合速率模型；强耦合的正常模劈裂需要完整耦合响应。