同一只镜子为什么会有两种宽度

先做一次有限精度的测量

设测量前对位置的预测是均值 $\mu$ 、方差 $V$ 的高斯分布。探测器给出 $y=q+\epsilon$ ，独立误差 $\epsilon$ 的方差为 $N$ 。贝叶斯规则把原先的预测乘以读数的似然，也就是“若位置在这里，出现这个读数有多大可能”。

把两个高斯指数相加并配平方，得到新的均值和方差。原先越不确定，就越相信读数；读数越模糊，就越保留原来的预测。这个权重来自两份精度，没用到模拟器另存的真值。

V_{\rm new}=\left(V^{-1}+N^{-1}\right)^{-1},\qquad \mu_{\rm new}=\mu+\frac V{V+N}(y-\mu)

这是单个实变量的高斯更新。量子位置测量同时增加共轭动量的不确定度，完整更新必须包含这份反作用。

用向量 $\boldsymbol r=(q,p)^T$ 表示两分量，条件均值记为 $\boldsymbol\mu_c$ 。条件协方差 $V$ 用对称化算符乘积定义。向量 $e=(1,0)^T$ 选出位置。沿用第五章的 $A$ 、 $D=D_{\rm th}+D_{\rm ba}$ 和 $R$ 。

一小段记录的平均值，其噪声方差为 $R/d\tau$ 。将刚才的更新展开到时间的一阶，再加自由运动和扩散，就得到下面的连续滤波。观测减预测的差叫新息；只有这份新信息会移动估计中心。

d\boldsymbol\mu_c=A\boldsymbol\mu_c\,d\tau+\frac{Ve}{R}\left(dZ-e^T\boldsymbol\mu_c\,d\tau\right)

新息由保存的观测记录计算。滤波器的输入没有模拟器的隐藏位置或动量。

\dot V=AV+VA^T+D-\frac{Vee^TV}{R}

前三项让不确定度转动、衰减和扩散；最后一项是观测带来的信息。含二次项的这种方程叫 Riccati 方程。

把许多不同记录各自得到的条件态混合，就恢复忽略记录时的无条件态。总的宽度有两部分：每个条件态自己有多宽，以及它们的中心散得有多开。只画第一部分，会把条件定位误认成整个机械总体已经冷却。

完整例题先去掉动力学：先验 $\mu=0$ 、 $V=2$ ，读数误差方差 $N=1$ 。若读到 $y=1$ ，更新中心是 $2/3$ ，方差是 $2/3$ 。但重复实验的读数方差为三，更新中心的方差便是 $(2/3)^2\times3=4/3$ 。相加又得到原先的二。

V_{\rm uncond}=\mathbb E[V_c]+\operatorname{Cov}(\boldsymbol\mu_c)

这是全协方差公式。无反馈时，模拟条件轨迹的平均必须恢复同一无条件主方程的二阶矩。

q

p

全协方差示意。小椭圆各代表一条记录下的条件态；中心在记录之间分散。大轮廓表示混合后的分布。图形是解释用高斯分布，不是采集样本。

条件量子轨迹指 $\rho_c$ 随观测历史改变，不是镜子暗中沿着一条同时具有精确位置和动量的轨迹跑。高斯量子态的 Wigner 函数为正，可以用相空间样本生成等价的观测统计；这些样本是模拟工具。

判断协方差是否仍是合法量子态，还要检查 $\det V\geq1/4$ 。位置变窄时，共轭分量、相关性与探测损失都必须一起算。有限步长数值更新应保持这个条件，并在减小步长后收敛。

Rossi 等人的实验进一步用后面的记录反推前面的状态，再把前向预测与后向估计比较。预测是否可靠，需要这种独立于当前滤波输出的验证。条件态的验证依靠这种额外的统计比较。

原文位置：Rossi et al.