让已经读到的信息变成冷却的力

反馈使用已经到达的记录

真实控制器只能使用现在和过去的光电流。模拟器知道所有相空间样本，如果把那份隐藏动量直接交给控制器，它会得到实验中拿不到的优势。滤波器先用保存的记录估计位置和动量，控制器再读取这个估计。

沿用归一化时间和两分量。令 $u$ 是加到动量方程的力， $g_{\rm fb}\geq0$ 是反馈增益。最简单的选择是 $u=-g_{\rm fb}\mu_p$ 。离散控制器先用上一时刻可用的估计确定力，保持到下一次更新；新读数只能影响后面的力。

u_j=-g_{\rm fb}\mu_p(\tau_j^-),\qquad \dot{\boldsymbol\mu}_c=A\boldsymbol\mu_c+e_pu+\text{measurement update},\quad e_p=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

上标负号表示施力前已经得到的估计。力在一个采样间隔内保持，避免使用未来记录。

原文位置：Rossi et al.

无量纲机械能为 $E=(q^2+p^2)/2$ ，实际能量为 $\hbar\Omega_m E$ 。反馈力的瞬时功率是 $up$ 。对已经知道的记录取条件平均，未知动量的平均正是 $\mu_p$ ；理想的即时反馈平均拿走 $g_{\rm fb}\mu_p^2$ 。

完整例题：某时刻滤波给出 $\mu_p=2$ ，取 $g_{\rm fb}=0.5$ 。控制器给 $u=-1$ ，平均反馈功率为 $-2$ ，单位是每单位归一化时间的能量。条件动量方差若为 $0.7$ ，这份已知力平移整个条件态，不能凭空把 $0.7$ 也抹掉。

\mathbb E[up\mid Z_{\leq\tau}]=-g_{\rm fb}\mu_p^2,\qquad \bar n=\frac{\operatorname{tr}V+|\boldsymbol\mu_c|^2-1}{2}

声子占据同时包含条件态宽度与中心能量。只有在合法量子态和一致的归一化下，这个换算才成立。

对给定记录，已知的线性力会移动分布中心。它不会改变同一记录下的协方差方程。反馈让不同实验的中心散布减小，便可以让无条件能量下降。这就是上一章的全协方差公式在控制中的用途。

效率较低时，滤波留下较宽的条件态。即使把中心都压回原点，这份不知道的运动仍在。提高反馈增益不能替代提高测量效率；必须连同状态估计和热浴一起计算最终能量。

在理想连续、已知力、线性高斯模型中，状态估计与线性控制可以分别设计，这叫分离原理。它依赖正确模型和因果记录。力的饱和、延迟、额外驱动噪声都会改变结果。

原文位置：Rossi et al.

如果控制器晚了半个机械周期，镜子运动方向已经反过来，原本反向的力反而顺着它推。增益越大，错误相位造成的能量输入越明显。实际反馈需要标定滤波带宽、电子延迟和执行器响应。

比较反馈开关时，必须同时保留测量强度、效率、种子和初态。再检查保存的力是否由过去的观测重算得到。对含反馈的同路光电流，噪声还可能被反馈相关性压低，称为环内噪声压低；独立机械温度测量需要另一个探测通道，或把这份相关性带进完整模型。

先预测，再改变、比较和解释

练习与解释性答案

模拟中用真实样本动量反馈，得到比记录滤波低得多的能量。能否把它当作实验预测？

展开解释

不能。它可作拥有额外信息的诊断参考，但真实控制器拿不到隐藏样本。实验预测必须只使用带噪观测、已知参数和过去控制。

条件协方差不变，无条件能量却下降，是否矛盾？

展开解释

不矛盾。无条件能量还包含不同记录的条件均值散布。反馈可让这些均值靠拢，减小总体能量，同时保持同一记录下的条件宽度。

继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

公式 1–5、图 1–3：旋转坐标下的高斯条件化，以及用后向估计验证轨迹。课程推导实验室坐标下的双分量例题；合成记录与原实验分列，不声称复现其装置参数。

发表于 Nature 563, 53–58（2018）。实验用光学位置记录作反馈冷却。课程的因果保持力控制器是高斯教学模型，与原实验滤波器和电子线路分别说明。