只盯一个分量，能把反作用送到哪里

在旋转坐标里挑一个量

自由机械振动可以写成 $q(\tau)=X\cos\tau+P\sin\tau$ 。这里 $X$ 、 $P$ 是随机械频率一起转动的正交分量，满足 $[X,P]=i$ 。给光学耦合加上同步的余弦调制，再与位移相乘，会得到一个不快速转动的 $X$ 项，以及两倍频的项。

当腔能分辨机械边带、耦合与阻尼远慢于机械转动时，快速项可以先平均掉，这叫旋波近似。慢相互作用只含被选中的分量。它与这个分量对易，理想反作用因而进入共轭分量。

\cos\tau\,q(\tau)=\tfrac12X+\tfrac12X\cos2\tau+\tfrac12P\sin2\tau,\qquad H_{\rm BAE}=-\hbar h X X_c

X_c 是被耦合的光学正交分量，h 吸收了调制幅度和二分之一因子。理想慢变相互作用满足 X 与 Hamiltonian 对易。

原文位置：Clerk

两个分量的乘积仍受不确定关系限制。热浴会把噪声送回被测分量；泵浦不平衡、失谐、有限边带分辨率和没有完全平均掉的快速项，也会造成泄漏。反作用规避要说明测的是哪个分量、在多长时间和哪段带宽内成立。

这与普通单频位置读出不同。后者连续看实验室坐标的位置，机械转动会把过去的动量扰动转回来。反作用规避需要真正改变驱动协议和被测分量。

原文位置：Aspelmeyer · Clerk

机械基态在 $X$ 、 $P$ 方向的方差均为 $1/2$ 。纯压缩态把一个方差乘 $e^{-2r}$ ，另一个乘 $e^{2r}$ ，其中 $r$ 为压缩参数。面积维持最小，形状变成椭圆。

完整例题：取 $r=\ln2$ 。两个方差为 $V_X=1/8$ 和 $V_P=2$ ，乘积仍为 $1/4$ 。窄方向只有基态的四分之一，相当于约六分贝压缩；平均声子数却是 $(1/8+2-1)/2=0.5625$ 。压缩态可以比基态更窄，也可以有更多总能量。

双频泵浦还有另一种用法：红泵稍强于蓝泵，构造一个让机械向压缩态放松的光学环境，叫压缩库。它与等强双频的单分量测量不同。Wollman 等人的实验使用这类库工程；例题椭圆只是解析示意。

V_X=\frac{e^{-2r}}2,\quad V_P=\frac{e^{2r}}2,\quad V_XV_P=\frac14,\quad \bar n=\sinh^2r

这里是零均值的纯压缩真空。有限温度或低效率一般会增加相空间面积。

X

P

解析等面积轮廓：真空与压缩参数为自然对数二的纯压缩真空。一个方向的方差为真空四分之一，共轭方向为四倍。

原文位置：Wollman et al.

压缩高斯态的 Wigner 函数处处为正。它仍是非经典态：任何相干态的经典概率混合，都不能让一个正交分量方差低于基态。Wigner 负值是更强的非高斯特征，不是所有非经典态都必须具备的印章。

例如单声子 Fock 态 $|1\rangle$ 的 Wigner 函数在原点为负。线性 Hamiltonian、Gaussian 初态和 Gaussian 连续测量会保持 Gaussian 形式，无法凭空画出这个负区。要走到这样的机械态，需要光子计数条件制备、足够强的非线性或其他非高斯操作。

最后一章研究光子的反聚束。它检验出射光的非经典统计，并不自动给出机械 Wigner 负值。光与机械各自的观测量必须分别定义和验证。

W_1(X,P)=\frac{2(X^2+P^2)-1}{\pi}e^{-(X^2+P^2)}

这是理想单声子态的解析 Wigner 函数，用于说明非高斯目标。当前记录的重建范围限于高斯条件态。

先预测，再改变、比较和解释

练习与解释性答案

某态的两个方差为四分之一和一。它能否是合法零相关高斯态？是否有单分量量子压缩？

展开解释

乘积等于四分之一，恰好满足最小不确定关系。四分之一小于基态方差二分之一，因此有压缩；另一个方向的增宽保留了量子限制。

平均声子数小于一，是否一定有压缩或 Wigner 负值？

展开解释

不一定。低温热态可以有小于一的占据数，同时两个方差都大于基态且 Wigner 函数为正。需要测对应的正交方差或非高斯统计。

继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

固定 arXiv v1：II.1–II.2 的腔线宽与机械谱；III.1–III.3 的辐射压与线性化；V.2、VII.1 的动力学反作用和冷却；VI.1–VI.2 的测量与单正交分量读出；X.6 的非线性量子光力学。课程按自己的统一约定推导例题。这是综述，不是新增实验数据。

双频测量单个旋转正交分量，以及反旋转项的影响。课程推导理想旋波相互作用，作为阅读节点；单频连续测量实验不冒充这套协议。

图 1、公式 1–3：不等强度红蓝泵浦构造压缩库。原文是实验论文；课程椭圆来自解析高斯示例，没有挪用实验测量点。