从一条抖动的记录读出机械温度

先看同一个振子怎样回应不同频率

对质量 $M$ 、频率 $\Omega_m$ 的振子，令 $\Gamma_m$ 是能量衰减率。位移方程包含与速度反向的阻力。把正弦力的每个频率分开，位移等于力乘以机械响应 $\chi_m$ ；它的单位是米每牛顿。

共振附近，一点点周期性力就能积累出较大运动。偏离共振，连续推动的相位会错开，响应较小。谱峰的位置主要报告弹性和惯性；宽度报告能量丢失有多快。

M(\ddot x+\Gamma_m\dot x+\Omega_m^2x)=F,\qquad \chi_m(\omega)=\frac{1}{M(\Omega_m^2-\omega^2-i\Gamma_m\omega)}

傅里叶分量按时间负指数展开。阻尼很小时，位移振幅包络以能量衰减率的一半衰减。

原文位置：Aspelmeyer

谱密度的面积才是方差

设 $x$ 已减去平均值。双边谱 $S_{xx}^{(2)}(\omega)$ 包含正负角频率。经典平稳噪声的相关函数记录“隔一段时间后还像不像”，其傅里叶变换给出谱密度。量子位移改用对称化相关：交换两次测量的算符顺序再取平均。

实验常画普通频率的单边谱，只保留正频率，把负频率的一半也加过来。下式把两种写法放在一起。峰值的单位带着每赫兹；对有限带宽积分后，单位才回到平方米。

\begin{aligned}S_{xx}^{(2)}(\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}\!C_{xx}(t)e^{i\omega t}\,dt,\\ \langle x^2\rangle&=\int_{-\infty}^{\infty}\!\frac{d\omega}{2\pi}S_{xx}^{(2)}(\omega)=\int_0^\infty\!df\,S_{xx}^{(1)}(f),\\ S_{xx}^{(1)}(f)&=2S_{xx}^{(2)}(2\pi f),\qquad f>0.\end{aligned}

这里角频率谱的积分测度含有二倍圆周率。若别的文献把它吸进谱定义，就要先换定义再比数值。

用热平衡给谱定一个面积

在高温、粘性阻尼和白色热力噪声近似下，热浴一边耗散能量，一边不断踢动振子。两者在热平衡时配对。将热力谱乘响应模平方再积分，应当回到能量均分给出的位移方差。这是比逐点复写谱公式更有力的检查。

完整例题：取 $M=10^{-12}\,\mathrm{kg}$ 、 $\Omega_m/(2\pi)=1\,\mathrm{MHz}$ 、 $T=300\,\mathrm K$ 。由能量均分得到 $\sqrt{\langle x^2\rangle}=10.2\,\mathrm{pm}$ 。若光电流换算后的机械峰面积只给出 $2.60\times10^{-23}\,\mathrm{m^2}$ ，而温度和质量可靠，位移振幅标定就小了二倍，因为方差小了四倍。

S_{FF}^{(2)}=2M\Gamma_mk_BT,\quad S_{xx}^{(2)}=|\chi_m|^2S_{FF}^{(2)},\quad \langle x^2\rangle=\frac{k_BT}{M\Omega_m^2}

这些式子使用经典热浴。低温量子极限要保留零点项；高品质因子单模的方差为零点方差乘以两倍热占据数加一。

原文位置：Aspelmeyer · Callen & Welton

记录还包含探测器自己的噪声

频谱仪看到的是整条读出链。光电流的平坦底噪、机械峰、电子噪声都可能叠在一起。换算位移前，需要独立标定光电流对位移的响应。谱峰下面的探测底噪，要按明确模型扣除；把整块面积都算成机械运动，会把温度估高。

有限时长也会把谱线抹宽。采样频率以下还藏着一个更严的限制：高于采样频率一半的分量可能折回低频，叫混叠。延长记录改善频率分辨率；提高采样率和使用抗混叠滤波处理另一件事。

先预测，再改变、比较和解释

把谱与保存的记录放在一起

先预测增加测量强度会怎样改变平坦底噪，再只调强度，比较散粒噪声和机械响应部分。
保存同一组参数下的位移观测记录，记录采样间隔和谱的单双边约定。说明有限记录的谱为何不会逐点等于光滑理论曲线。
把效率降低，比较机械运动与读出底噪的变化。区分“振子更热”和“探测器看得更差”。

练习与解释性答案

机械峰高变成两倍，宽度减为一半，温度一定升高了吗？

展开解释

不一定。高品质因子的 Lorentz 峰面积近似等于峰高乘线宽再乘固定形状因子。这里面积可保持不变，说明运动方差和温度没有随峰高加倍。

把双边普通频率谱直接当成单边谱积分正频率，会得到怎样的方差？

展开解释

实位移的正负频率贡献相同。只积分正频率而不把谱加倍，会少算一半方差；标准差少一个根号二。

继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

Aspelmeyer, Kippenberg & Marquardt, Cavity Optomechanics, arXiv:1303.0733v1 (2013); RMP 86, 1391 (2014)

固定 arXiv v1：II.1–II.2 的腔线宽与机械谱；III.1–III.3 的辐射压与线性化；V.2、VII.1 的动力学反作用和冷却；VI.1–VI.2 的测量与单正交分量读出；X.6 的非线性量子光力学。课程按自己的统一约定推导例题。这是综述，不是新增实验数据。

Callen & Welton, Irreversibility and Generalized Noise, Physical Review 83, 34 (1951)

线性耗散与广义力涨落关系的原始理论来源。已核对出版方摘要，全文需要订阅。课程的振子归一化按可公开核读的 Aspelmeyer II.2.3 推导。