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Sandbox Physics
量子光力学

L4 · 第 9 章

沿着 Rabl 的能级图读懂光子阻塞

Sandbox Physics ·

打开 Rabl 的《The photon blockade effect in optomechanical systems》，固定 arXiv:1102.0278v2。图 2 解释第一和第二个光子为什么遇到不同共振，图 3 展示单光子边带，图 4 才检验双光子统计。顺着这个次序，可以分清频移、边带和反聚束各自提供了什么信息，并复算一个限定的理论曲线。

图 1 先确认检测的是哪束光

弱相干激光驱动含机械自由度的腔。出射光被分到两个光子计数器，比较同时到达事件与平均通量。这里要测的是同一输出场的二阶关联；反射端若还混着相干入射光，就必须把那部分干涉一起算。

课程用 Δ0=ωL−ωc\Delta_0=\omega_L-\omega_c 表示相对裸腔的失谐，用 κ\kappa 表示能量线宽。论文公式 3 的 κR\kappa_R 是振幅衰减率，因此 κ=2κR\kappa=2\kappa_R。论文还把相对位移后的失谐写成 Δ=Δ0+g02/Ωm\Delta=\Delta_0+g_0^2/\Omega_m；读横轴前先看用的是哪一个。

原文位置：Rabl

图 2 把弹簧平衡点按光子数移开

令腔光子数 n=a†an=a^\dagger a。先关驱动并固定 nn，机械平衡点随完整单模相互作用移动。把机械 Hamiltonian 配成平方，定义 U=g02/ΩmU=g_0^2/\Omega_m。每个光子扇区都有一列间隔为 Ωm\Omega_m 的机械能级，整列下移 Un2Un^2。

若机械数不变，从真空加第一个光子的能量差为 −Δ0−U-\Delta_0-U。共振位于 Δ0=−U\Delta_0=-U。此处再加第二个光子的能量差为 −2U-2U，已偏离同一激光。图中的声子边带还允许改变机械量子数，因而单看一个能级差不足以预言完整关联曲线。

Hnℏ=Ωm(b†−g0nΩm)(b−g0nΩm)−Δ0n−Un2,En,m/ℏ=mΩm−Δ0n−Un2.\begin{aligned}\frac{H_n}\hbar&=\Omega_m\left(b^\dagger-\frac{g_0n}{\Omega_m}\right)\left(b-\frac{g_0n}{\Omega_m}\right)-\Delta_0 n-Un^2,\\ E_{n,m}/\hbar&=m\Omega_m-\Delta_0 n-Un^2.\end{aligned}
改变机械坐标正方向只改变位移的符号，不改变能级下移。这里保留完整单光子非线性，没有围绕强光背景展开。
n=0n=0n=1n=1n=2n=2
单光子共振处、激光旋转坐标下的位移振子能级。每列是固定光子数的等间隔声子能级，整列按光子数平方下移。零、一光子最低能级重合，二光子最低能级失谐。

原文位置：Aspelmeyer

图 3 的每个峰先回答单光子能否进入

横轴是裸失谐，纵轴是归一化腔激发谱 SS。零声子线在 Δ0=−U\Delta_0=-U，其余线相隔机械频率。零温、高品质因子、弱驱动极限下，基态与位移后机械态的重叠给出泊松型权重。下式可单独复算。

原文图 3 使用有限品质因子，机械退相干也会展宽峰。课程所用的无限品质因子极限应单独标记；它可以解释峰的位置和权重，却不逐点等于那张有限展宽的图。激发谱只需要领先的一光子振幅，尚未检验两个光子是否互相排斥。

S(Δ0)=∑m=0∞e−s2s2mm!(κ/2)2(κ/2)2+(Δ0+U−mΩm)2,s=g0ΩmS(\Delta_0)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{e^{-s^2}s^{2m}}{m!}\frac{(\kappa/2)^2}{(\kappa/2)^2+(\Delta_0+U-m\Omega_m)^2},\qquad s=\frac{g_0}{\Omega_m}
这是原文公式 8 的零温、高品质因子极限，采用课程能量线宽。归一化参考是没有光力耦合时、激光正好共振的腔光子数。

图 4 才把第二个光子算进去

等时二阶关联 g(2)(0)g^{(2)}(0) 比较成对光子与平均光子数平方。分子用 n(n−1)n(n-1)，因为同一个光子不能与自己组成一对。相干参考为一；小于一是反聚束。这里的参照特指相干场，不能把它推广成一切高斯场都必须大于一。

数值上，弱驱动时分别解零、一、二光子扇区的稳态响应，每个扇区还保留一列机械 Fock 态。二光子概率是驱动四次方，一光子概率的平方也如此；先求各自领先项再取比值，就能在很弱驱动时避免直接积分极小事件。

增加机械截断，直到激发谱与关联都稳定。光子扇区截到二，仅适用于驱动趋零的领先关联；它不是任意光强的完整主方程。机械在光学响应期间近似无阻尼，初态取零温平衡；把弱驱动极限与高品质因子极限的次序记清楚。

g(2)(0)=⟨a†2a2⟩⟨a†a⟩2=⟨n(n−1)⟩⟨n⟩2g^{(2)}(0)=\frac{\langle a^{\dagger2}a^2\rangle}{\langle a^\dagger a\rangle^2}=\frac{\langle n(n-1)\rangle}{\langle n\rangle^2}
输出若是与腔场成正比、没有额外相干混入的纯泄漏通道，相同关联可从该通道的光子符合测量得到。

完整例题把一个参数点算到可以核查

取图 4a 的 g0/Ωm=0.5g_0/\Omega_m=0.5，论文振幅线宽 κR/Ωm=0.15\kappa_R/\Omega_m=0.15，课程能量线宽便是 0.30Ωm0.30\Omega_m。由平方得到 U/Ωm=0.25U/\Omega_m=0.25；选零声子共振 Δ0/Ωm=−0.25\Delta_0/\Omega_m=-0.25，并取零温、高品质因子和弱驱动极限。

直接 Fock 响应给出 S=0.783227S=0.783227 和 g(2)(0)=0.328740g^{(2)}(0)=0.328740。用独立构造的原文公式 11 系数和式计算同一高品质因子曲线，再将机械截断从四十增加到六十。两种计算对选定扫描的一致性与截断差写入数值基准；它们是计算验证，不是实验误差条。

原文公式 13 只保留零声子线附近少数通道，可以解释第一个反聚束谷。把它用于整条失谐扫描，尤其遇到其他声子共振时，应当预期出现偏差。完整求和与近似曲线要分开画。

把完整耦合与线性化近似放在一起

灰色无耦合腔只回答去掉光力作用后会怎样。要检验线性化，仍需保留非零的单光子耦合：先求辐射压力改变后的平均场，再围绕它求光学与机械四个正交分量的协方差。离线基准保存这份计算，另列了机械热浴与稳定分支。

把光场写成 a=α+da=\alpha+d，并选择相位让 α\alpha 为正实数。定义涨落光子数 N=⟨d†d⟩N=\langle d^\dagger d\rangle 与成对振幅 M=⟨dd⟩M=\langle dd\rangle。高斯态的四阶矩可以拆成二阶矩的配对相加，便得到下式。压缩改变成对振幅的大小与相位，高斯场也可能反聚束。

先取适合展开的明亮工作点：α=100\alpha=100、g0/Ωm=0.0002g_0/\Omega_m=0.0002、κ/Ωm=0.3\kappa/\Omega_m=0.3、γ/Ωm=10−4\gamma/\Omega_m=10^{-4}、Δeff/Ωm=−1\Delta_{\rm eff}/\Omega_m=-1，热浴平均声子数为一。求得 N=0.00052932N=0.00052932，关联为 1.0000001431.000000143。保持增强耦合不变，同时增加背景、减小单光子耦合，省略项会逐渐减弱。

再试单光子阻塞点：g0/Ωm=0.5g_0/\Omega_m=0.5、裸失谐 −0.25Ωm-0.25\Omega_m，零温驱动幅度 E/Ωm=0.00015\mathcal E/\Omega_m=0.00015。保留 γ/Ωm=10−4\gamma/\Omega_m=10^{-4} 的形式高斯计算给出 gG(2)(0)=2.40275g^{(2)}_{\rm G}(0)=2.40275，而弱驱动、无限品质因子的 Fock 极限给出 0.3287400.328740。两列热浴极限分别标明；前一列在这里超出了可靠的线性化范围。协方差虽然稳定且满足不确定关系，涨落相对背景已太大，舍去的作用不能凭稳定性忽略。

gG(2)(0)=α4+4α2N+2N2+∣M∣2+2α2Re⁡M(α2+N)2g^{(2)}_{\mathrm G}(0)=\frac{\alpha^4+4\alpha^2N+2N^2+|M|^2+2\alpha^2\operatorname{Re}M}{(\alpha^2+N)^2}
相位与协方差使用同一约定。零均值高斯涨落满足四阶矩的配对规则；成对振幅项保留了压缩带来的关联。离线文件给出完整协方差、稳定性和有限热浴敏感性。

原文位置：Aspelmeyer · Lemonde

下一篇论文也可以这样读

先抄下版本、驱动极限、热浴和损耗定义；再确认图的横轴是哪种失谐、纵轴如何归一化。随后为零耦合找一个独立解析检查，并改变光子、声子截断或时间步。最后才把计算曲线与选定图比较。

本切片交付的是弱驱动、零温、高品质因子模型与选定理论参考的复算。有限温度、有限品质因子、强驱动稳态和非高斯机械态制备，都需要相应的新求解与观测验证。看到光子的反聚束后，可以继续追问机械态，但答案必须来自机械的观测。

先预测，再改变、比较和解释

复算第一个反聚束谷

  1. 选光子阻塞预设，先由单光子耦合估计零声子线位置，再与扫描对比。
  2. 保持耦合，只增大腔线宽，比较激发谱与等时关联，解释为什么峰的出现不足以证明反聚束。
  3. 导出弱驱动扫描，记录能量线宽约定和机械截断。将高品质因子基准与原文公式 11 比较，并把公式 13 的近似单列。

练习与解释性答案

  1. 把单光子耦合增为二倍，零声子线红移量怎样变？

    展开解释

    能级位移与耦合平方成正比，因此红移量增为四倍。线宽与侧带是否仍分辨，需要分别检查。

  2. 若测到光子二阶关联小于一，能否断言机械 Wigner 函数有负值？

    展开解释

    不能。这是光场的非经典统计。机械态的 Wigner 函数需要机械层析或等效的专门测量。

继续读原文

推导、例题与解释图按明确模型编写。合成记录、模型参考与实验结果分别标明；下面列出核读的理论位置与限定数值比较。

  1. Lemonde, Didier & Clerk, Antibunching and unconventional photon blockade with Gaussian squeezed states, arXiv:1410.6510v1 (2014)

    第二节、公式 2–4：位移高斯态的光子矩与振幅压缩。课程采用一般矩公式；非零光力耦合的协方差由本站另行计算。

  2. Aspelmeyer, Kippenberg & Marquardt, Cavity Optomechanics, arXiv:1303.0733v1 (2013); RMP 86, 1391 (2014)

    固定 arXiv v1：II.1–II.2 的腔线宽与机械谱；III.1–III.3 的辐射压与线性化；V.2、VII.1 的动力学反作用和冷却；VI.1–VI.2 的测量与单正交分量读出；X.6 的非线性量子光力学。课程按自己的统一约定推导例题。这是综述，不是新增实验数据。

  3. Rabl, The photon blockade effect in optomechanical systems, arXiv:1102.0278v2 (2011)

    固定 2011 年 4 月 15 日 v2：公式 1、3–6、11–13，图 1–4。理论预言光子反聚束。本站弱驱动双光子 Fock 计算取零温和高品质因子极限，选定比较与原文有限品质因子曲线分列。Rabl 用振幅线宽，课程的能量线宽是它的二倍。

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