质子磁化怎样进动、翻倒和恢复

磁化绕磁场进动

取静磁场沿 $+z$ 方向，记作 $\mathbf B_0=B_0\hat z$。单位体积内所有质子磁矩之和叫磁化 $\mathbf M$，单位是 A/m。质子的磁矩与它的自旋角动量方向相同，比值是旋磁比 $\gamma$。

磁场对磁化施加力矩 $\mathbf M\times\mathbf B$，力矩改变角动量，于是得到 Bloch 论文的式 11。叉乘总与 $\mathbf M$ 垂直，所以磁化的长度不变，只是绕 $\mathbf B_0$ 转圈，这就是进动。转动的角频率叫 Larmor 频率。

质子的 $\gamma/2\pi=42.576\,\mathrm{MHz/T}$。MIT 讲义取 42.58 MHz/T，二者只差舍入。频率与磁场成正比，这一点在第三章会变成成像的关键。

来源：F. Bloch · J. Hrabe · MIT 6.3000 Signal Processing

射频脉冲把磁化翻倒

平衡时磁化沿 $+z$，与磁场平行，不进动，线圈也测不到它。要让它进动，就要先把它推离 $z$ 轴。办法是在垂直方向加一个弱磁场 $B_1$，并让它以 $\omega_0$ 的频率旋转，也就是一个射频脉冲。

换到一个以 $\omega_0$ 绕 $z$ 轴转动的坐标系里看，静磁场的作用被转动抵消，而 $B_1$ 变成静止的。磁化于是只绕 $B_1$ 慢慢转动，角速度 $\omega_1=\gamma B_1$。Bloch 在式 40—42 里正是用这种变量替换，把方程写成系数近似为常数的形式。

脉冲持续 $\tau$ 后，磁化转过的角度叫翻转角。翻转 90° 后磁化全部躺在横向平面里，在实验室坐标系中以 $\omega_0$ 进动，它的磁通在接收线圈中感应出电压。MIT 讲义把这段电压称为得到 MR 图像的原始信号。

来源：F. Bloch · MIT 6.3000 Signal Processing

两种弛豫：T1 和 T2

翻倒的磁化不会永远进动。Bloch 用两条最简单的指数规律描述它的恢复。纵向分量 $M_z$ 以时间常数 $T_1$ 回到平衡值 $M_0$（式 32）；这需要自旋把能量交给周围的分子。横向分量 $M_x$、$M_y$ 以 $T_2$ 衰减（式 37）；这只需要各个质子的相位彼此错开，不涉及能量交换。

Bloch 把造成相位错开的原因归为一个“有效不均匀场” $H'$，得到 $T_2\approx1/(\gamma H')$（式 33）。对彼此静止的相邻原子核，他估出 $H'$ 约 1 高斯、$T_2$ 约 $10^{-4}\,\mathrm s$，并指出 $T_2$ 可以比 $T_1$ 小好几个数量级，假定二者相等可能造成严重错误。

把力矩和两种弛豫加在一起，就是 Bloch 式 38a—c，今天称为 Bloch 方程。下面写出只有静磁场时的解。

来源：F. Bloch · MIT 6.3000 Signal Processing

用数值积分检查方程

解析解可以和数值积分对照。频率编码实验的基准程序用四阶 Runge–Kutta 法直接积分 Bloch 方程：一个共振的矩形脉冲后，算出的翻转角与 $\gamma B_1\tau$ 的差别小于 $10^{-10}$；无脉冲时的进动方向与上面的符号约定一致；横向分量的衰减与指数解吻合。

程序还把每根水管拆成 400 个小块分别积分，再把它们在线圈里的贡献加起来。这样得到的电压与第三章的傅里叶公式相差不到千分之一，说明后面几章用公式代替逐点积分是合理的。

来源：F. Bloch · J. Hrabe

完整例题：3 T 扫描仪里的一次激发

题目：在 $B_0=3\,\mathrm T$ 的扫描仪中，用 1 ms 的矩形射频脉冲把磁化翻转 90°。求进动频率、需要的 $B_1$，以及信号的衰减和磁化的恢复。设 $T_2^*=30\,\mathrm{ms}$（与频率编码实验的默认值相同），$T_1=1\,\mathrm s$，这两个值只是为了计算而假定。

进动频率 $f_0=42.576\times3=127.7\,\mathrm{MHz}$，转一圈 7.83 ns，1 ms 内转 127728 圈。翻转角 $\pi/2$ 要求 $B_1=\pi/(2\gamma\tau)=5.87\,\mu\mathrm T$，只有 $B_0$ 的约两百万分之一。弱场能起作用，是因为它与进动同步旋转，效果一圈圈累积起来。

脉冲结束后线圈电压的包络按 $e^{-t/T_2^*}$ 衰减，30 ms 后剩 $e^{-1}=0.368$。与此同时纵向磁化从零开始恢复。如果每 2 s 重复一次激发，下一次脉冲前 $M_z=M_0(1-e^{-2})=0.865M_0$，所以稳定后每次激发的信号约为完全恢复时的 86.5%。

来源：J. Hrabe · MIT 6.3000 Signal Processing