扩散编码：一对梯度怎样测出水分子走了多远

梯度对：不动的回到原位，动了的留下相位

Hrabe 等人用一张示意图说明原理：在位置 $x$ 的水分子在第一个梯度脉冲期间获得相位 $\gamma Gx\delta$，$\delta$ 是脉冲时长。等待一段时间后施加大小相同、方向相反的梯度。如果水分子在这期间没有移动，相位差被完全抵消，磁化完全恢复。

自旋回波序列里，第二个脉冲与第一个同向，但两者之间的 180° 脉冲把相位反号，效果等同于反向梯度。脉冲很短时，一个从 $x_1$ 移到 $x_2$ 的水分子最后的相位只取决于位移。定义 $q=\gamma G\delta$，它是第四章空间频率 $k$ 乘 $2\pi$：梯度对在 k 空间里先走到 $q$，再走回原点。

线圈测到的是所有水分子的平均。整体平移不改变幅值，只有位移的“分散”让相位彼此抵消。所以扩散加权的回波只对随机运动敏感。

来源：J. Hrabe · F. Szczepankiewicz and J. Hutter

随机行走与回波衰减

Hrabe 等人从最简单的随机行走出发：每隔 $\Delta t$，水分子以相等概率向左或向右跳 $\Delta x$。$n$ 步后位置的方差是 $2Dn\Delta t$，其中 $D=\Delta x^2/(2\Delta t)$。取 $\Delta t\to0$ 并保持 $D$ 不变，得到连续扩散的 $\sigma^2=2Dt$。

每跳一步，相位改变 $\pm q\Delta x$。$n$ 步相互独立，所以所有水分子相位因子的平均是 $\cos^n(q\Delta x)$。代入 $\Delta x=\sqrt{2D\Delta t}$ 并令 $n\to\infty$，就得到指数衰减 $e^{-bD}$，其中窄脉冲时 $b=q^2\tau$。

本课程的基准程序检验了这两步。离散行走：用 4 万个水分子模拟 20、50、200 步，与 $\cos^n$ 的差别在 1.04 个标准误差以内。连续极限：$bD=1.07$ 时，$n=10\,000$ 步给出 0.342995，极限值是 0.343009。

来源：J. Hrabe · F. Szczepankiewicz and J. Hutter

b 值：从梯度波形算出来

脉冲不够短时，水分子在脉冲期间也在移动，$b$ 要按整个波形计算。ISMRM 2019 的习题给出一般定义：$q(t)$ 是梯度到时刻 $t$ 的累积面积（乘 $\gamma$），$b$ 是 $q^2$ 对时间的积分。对两个矩形脉冲，积分分成三段：脉冲期间各贡献 $q^2\delta/3$，两脉冲之间贡献 $q^2(\Delta-\delta)$，合起来就是 Stejskal–Tanner 公式。

习题的答案还指出，“扩散时间”没有简单的定义，因为它取决于组织结构；研究扩散随时间变化的实验应当报告完整的波形，比如 $\Delta$ 和 $\delta$。三个梯度轴同时施加同一个波形时，梯度大小变成 $\sqrt3$ 倍，$b$ 变成 3 倍，约 $1.6\,\mathrm{ms/\mu m^2}$。

扩散编码实验对每个水分子逐步累加相位，不用 $b$ 公式；基准程序把实验时序数值积分，与上面的闭式结果相差不超过 $7.7\times10^{-13}$。

来源：F. Szczepankiewicz and J. Hutter · J. Hrabe

完整例题：40 mT/m、10 ms、50 ms

题目：这是 ISMRM 习题和扩散编码实验的默认设置。梯度 40 mT/m，脉冲 10 ms，间隔 50 ms，自由水 $D=2.0\,\mathrm{\mu m^2/ms}$（实验假设的值）。求 $q$、$b$、回波比、相位的标准差和两脉冲之间的典型位移。

$\gamma G=2.675\times10^8\times0.04=1.07\times10^7\,\mathrm{rad\,s^{-1}m^{-1}}$，即 $0.0107\,\mathrm{rad\,ms^{-1}\mu m^{-1}}$，与习题给的数一致。$q=0.0107\times10=0.107\,\mathrm{rad/\mu m}$：水分子移动 59 µm，相位才转一整圈。$b=0.107^2\times(50-10/3)=0.534\,\mathrm{ms/\mu m^2}=534\,\mathrm{s/mm^2}$；习题答案是 0.53。

回波比 $e^{-bD}=e^{-1.0686}=0.3435$。相位近似高斯分布，方差 $2bD$，标准差 $\sqrt{2.137}=1.46\,\mathrm{rad}$。沿梯度的典型位移 $\sqrt{2D\Delta}=\sqrt{200}=14.1\,\mathrm{\mu m}$，只有一个细胞大小，却足以让回波衰减到三分之一。

实验用 6000 个水分子模拟，读出回波比 0.356，标准误差 0.012，与 0.3435 相差约一个标准误差；拟合 9 个梯度强度得到的表观扩散系数是 $1.94\,\mathrm{\mu m^2/ms}$。基准程序用 2 万个水分子在 6 个梯度强度下检验，最大偏差 0.64 个标准误差。

来源：F. Szczepankiewicz and J. Hutter · J. Hrabe

膜之间的水：回波衰减变慢

Hrabe 等人回顾说，Tanner 和 Stejskal 最早提出改变两脉冲间隔来测受限扩散：被细胞壁挡住的水，信号衰减比自由水弱，他们据此估计了酵母细胞的直径。Hrabe 等人还指出，扩散时间极短时多数分子碰不到细胞壁，接近自由扩散；扩散时间越长，分子越能探到复杂的结构，所以不同扩散时间的结果不能混在一起，扩散时间必须报告。

扩散编码实验用一组相距 $L$ 的平行膜模拟这一点，水分子碰到膜就反射。默认梯度下 $L=20\,\mu\mathrm m$：回波比从自由水的 0.3435 升到 0.739，表观扩散系数降到 0.588。把间隔拉长到 90 ms，自由水的回波比会降到 0.137，膜之间的水只降到 0.713，表观扩散系数只剩 0.367。膜距 5 µm 时，回波比 0.995，几乎不衰减。

受限时单个指数不再成立。实验把最大的可用 $b$ 留出来，用其余点拟合的指数去预测它：自由水的偏差是 2.5%，膜之间是 −5.1%，等得更久时是 −12.6%。等待时间很长时，水分子在两次脉冲时的位置相互独立，各自均匀分布在两膜之间，于是回波比趋于 $\operatorname{sinc}^2(qL/2)$。这是本课程自己的推导；基准程序用 $L=10\,\mu\mathrm m$、0.2 ms 窄脉冲、100 ms 间隔检验，最大差 0.0045，位移均方根 4.081 µm，极限值 $L/\sqrt6=4.082\,\mu\mathrm m$。

来源：J. Hrabe · F. Szczepankiewicz and J. Hutter