L3 · 第 6 章

欠采样重建：为什么随机跳行能补救，规则跳行不能

Sandbox Physics · 2026-10-29

第五章的两种少采方式都要付代价：隔行采样让图像折叠，只采中心让图像模糊。本章介绍两条补救的路。第一条是用多个接收线圈：每个线圈只对靠近自己的组织敏感，多出来的信息足以把折叠拆开。第二条是随机地跳行，再利用“图像在某种变换下只有少数大系数”这一先验，把缺失的行补出来。两条路的前提不同，失败的方式也不同。

多个线圈拆开折叠

MIT 讲义考虑两个线圈，左右各一个。线圈 1 只对左半边头部敏感，所以它的图像只显示左半边；如果只测偶数列，线圈 1 的图像与它自己平移后的副本相加。线圈 1 只看见左半边，副本落在原本空白的右半边，彼此不重叠。取线圈 1 折叠图的左半、线圈 2 折叠图的右半，就拼回完整图像。两个线圈同时采集，时间省了一半。

讲义接着换了两组灵敏度。若一个线圈覆盖整个视野、另一个只覆盖一半，两幅图相减就回到前一种情形。最后一组 $c_5$ 、 $c_6$ 不行： $c_6$ 对折叠在一起的两个像素权重完全相同，它的图像里没有任何能区分这两个像素的信息， $c_5$ 也一样。

一般地，隔行采样让每个像素 $y_1$ 与 $y_2=y_1+\mathrm{FOV}/2$ 叠在一起。线圈 $j$ 的折叠图在这一点的值是两者按灵敏度加权的和（第五章的因子 $\tfrac12$ 并入灵敏度）。两个线圈给出两个方程，两个未知数。灵敏度矩阵可逆时就能解出； $c_5$ 、 $c_6$ 那种情形，矩阵的两列相同，行列式为零。

\begin{pmatrix}g_1\\ g_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c_1(y_1)&c_1(y_2)\\ c_2(y_1)&c_2(y_2)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f(y_1)\\ f(y_2)\end{pmatrix}

每对折叠像素一个

2\times2

方程组。矩阵可逆，折叠就能拆开。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

完整例题：拆开一对像素，噪声放大多少

题目：这是本课程自己编的例子。线圈 1 对像素 $y_1$ 、 $y_2$ 的灵敏度是 0.9 和 0.3，线圈 2 是 0.2 和 0.8；真实值 $f(y_1)=0.8$ 、 $f(y_2)=0.3$ 。求两个线圈的折叠值，从折叠值解回原值，并求两个线圈各带标准差 $\sigma$ 的独立噪声时，解出的 $f(y_1)$ 的噪声。

折叠值 $g_1=0.9\times0.8+0.3\times0.3=0.81$ ， $g_2=0.2\times0.8+0.8\times0.3=0.40$ 。行列式 $0.9\times0.8-0.3\times0.2=0.66$ 。逆矩阵第一行是 $(0.8,\,-0.3)/0.66$ ，所以 $f(y_1)=(0.8\times0.81-0.3\times0.40)/0.66=0.8$ ，与真实值一致；同样算得 $f(y_2)=0.3$ 。

噪声按逆矩阵的行传播： $f(y_1)$ 的噪声标准差是 $\sigma\sqrt{0.8^2+0.3^2}/0.66=1.29\,\sigma$ ， $f(y_2)$ 是 $1.40\,\sigma$ 。两个线圈的灵敏度越接近，行列式越小，放大越严重；到 $c_5$ 、 $c_6$ 那种行列式为零的情形，放大是无穷大，也就是讲义说的“没有可用信息”。

\sigma_{f(y_1)}=\frac{\sigma\sqrt{c_2(y_2)^2+c_1(y_2)^2}}{\left|c_1(y_1)c_2(y_2)-c_1(y_2)c_2(y_1)\right|}

由逆矩阵第一行得到。行列式出现在分母上。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

随机跳行：干扰像噪声

只有一个线圈时，规则跳行没有补救办法：Lustig 等人指出，原信号与它的平移副本同样可能，无法区分。随机跳行的情形完全不同。补零重建的伪影看上去像随机噪声，但它们不是噪声：欠采样让每个非零系数的能量漏到别的系数上，包括本来为零的系数。

Lustig 等人用点扩散函数衡量这种泄漏：只有一个点时，欠采样重建在别处出现的值。从 $D$ 个网格点中随机选 $N$ 个时，点外的值像零均值的白高斯噪声，标准差由式 [1] 给出，推导用的是能量守恒。本课程的基准程序在 $D=256$ 、 $N=32$ 下抽了 400 次：实测标准差 0.165683，与有限网格的精确值相同，与式 [1] 的 0.165359 相差 0.2%；最大副瓣平均只有 0.38，而规则采样的副本高度正好是 1。

这就是随机跳行能补救的原因：强的系数高出干扰，能先被认出来。Lustig 等人的图 2 用 8 倍欠采样的稀疏信号演示了这个过程：先用阈值找出最强的分量，算出它们造成的干扰并减掉，干扰降低后再找次强的分量。基准程序重做了这个逐级过程，5 级后完全恢复，误差 $3\times10^{-16}$ 。

\sigma_{\mathrm{SPR}}=\sqrt{\frac{p-1}{D}},\qquad p=\frac{D}{N}

Lustig 等人的式 [1]。

p

是采样缩减倍数。

来源：M. Lustig · MIT 6.3000 Signal Processing

稀疏重建：在符合数据的图像里找最简单的

Lustig 等人的重建写成约束优化，式 [3]：在所有与测量数据相差不超过 $\varepsilon$ 的图像中，找变换 $\Psi$ 下 L1 范数最小的那个。 $\varepsilon$ 通常设得比预期噪声略低。附录里的等价形式式 [A1] 把约束换成权重 $\lambda$ ，并选 $\lambda$ 让残差约等于 $\varepsilon$ ；他们用非线性共轭梯度求解，文中的例子需要 80 到 200 次迭代。

k 空间重建实验求解同一类目标函数，但做了三处改动： $\Psi$ 用三层 Haar 小波，只压缩细节系数；求解用加速软阈值迭代，50 步；权重不按噪声水平选，而是留出中心以外八分之一的已采行，不用它们拟合，再看拟合结果能否预测它们。全采样时这个目标函数有闭式解，迭代结果与闭式解相差 $2\times10^{-15}$ 。

在“随机跳行，稀疏拟合补全”预设下（加速 2 倍），留出行选出的权重是 0.008，只有模拟才能知道的最佳权重是 0.004，两者在不含留出行的拟合上误差分别为 17.2% 和 17.0%。用全部已采行重建后，图像误差从补零时的 23.9% 降到 13.3%，小圆点对比度从 71% 回升到 87.3%。

\min_m\ \|\Psi m\|_1\quad \mathrm{s.t.}\quad \|F_u m-y\|_2<\varepsilon

Lustig 等人的式 [3]。

F_u

是欠采样傅里叶算子，

y

是测得的 k 空间数据。

\min_m\ \tfrac12\|F_u m-y\|_2^2+\lambda\|\Psi m\|_1

实验用的拉格朗日形式。式 [A1] 没有

\tfrac12

，只差

\lambda

的标度。

来源：M. Lustig · MIT 6.3000 Signal Processing

代价：先丢的是低对比度的细节

Lustig 等人写道，随加速倍数增大，压缩感知最明显的伪影不是通常的分辨率下降，也不是折叠干扰增大，而是低对比度特征消失：它们比干扰还弱，被淹没后无法恢复。所以这种方法最适合有高分辨率、高对比度特征而又需要快速成像的场合；他们的例子里就有血管造影。

他们还指出，单层二维扫描只能在相位编码方向欠采样，干扰只沿一个方向扩散，按式 [1] 算出的干扰比纯二维随机采样大 $D^{1/4}$ 倍， $256\times256$ 的图像是 16 倍，所以只能期望不大的加速。文中的脑部例子用了 192 条相位编码中的 80 条，加速 2.4 倍。实验里的头部也是单层二维扫描，加速 2 倍，只有一个线圈；多线圈拆分只出现在上面的例题里。

来源：M. Lustig · MIT 6.3000 Signal Processing

到实验里试一试

让稀疏拟合补回缺失的行

选“随机跳行，缺口补零”。图像不折叠，但布满颗粒状的伪影。记下误差 23.9% 和小圆点对比度 71%。
切换到“随机跳行，稀疏拟合补全”。预测：伪影大部分消失，对比度回升。对照读数 13.3% 和 87.3% 检验。
打开“拟合权重、中心行数与种子”，把稀疏权重拉到 0.064。预测：权重越大，低对比度的小圆点越先被抹平。读数应显示对比度降到 64.7%，误差升到 17.6%。再看数据区的权重曲线，找出留出行误差最低的那一点。
最后选“隔行采样：头像折叠”，再切换到稀疏小波拟合。折叠还在，因为规则跳行的副本与原图同样“稀疏”，先验分不出哪个是真的。

练习与解答

两个线圈对一对折叠像素的灵敏度是 $(0.6,\,0.6)$ 和 $(0.5,\,0.5)$ 。能拆开吗？
展开解答
不能。行列式 $0.6\times0.5-0.6\times0.5=0$ ，两个线圈都只测到两像素之和。这正是 MIT 讲义里 $c_5$ 、 $c_6$ 的情形。
从 256 个网格点中随机选 64 个，按式 [1] 干扰的标准差是多少？比选 32 个时大还是小？
展开解答
$p=4$ ， $\sigma=\sqrt{3/256}=0.108$ ，比 $N=32$ 时的 0.165 小。采得越多，干扰越低。
实际扫描时没有完整扫描可以对照。为什么留出行能用来选权重？它有什么局限？
展开解答
留出行是真实测到的数据，没有参与拟合。能准确预测它们的权重，通常也能较好地补出没采的行。局限是留出行只在已采的位置上打分，而且不参与拟合会让数据变少；实验里两种选法的误差只差 0.2 个百分点，但这只是一个体模、一个种子的结果。

来源与复算范围

MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson
通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。
M. Lustig, D. Donoho and J. M. Pauly, Sparse MRI: the application of compressed sensing for rapid MR imaging, Magnetic Resonance in Medicine 58, 1182–1195 (2007), doi:10.1002/mrm.21391
通读全文。图 1 与压缩感知的三个条件；图 2（256 点稀疏信号、8 倍欠采样）；式 1（干扰的标准差）及附录 B 中的推导（正文称为 Appendix II）；单层 2DFT 的干扰大 D^{1/4} 倍的说明；式 2（变换点扩散函数）；式 3—4（带约束的重建）；附录 A 式 A1—A3（拉格朗日形式与非线性共轭梯度，80 到 200 次迭代）；结果与讨论（脑部 2.4 倍、血管造影 5 倍从 22 s 缩到 4.4 s、低对比结构丢失）。在体图像只做描述，不复现。