FR35 · 磁共振

磁共振 k 空间：跳行采样、头像折叠与补全

k 空间每采一行就要花一个重复时间。哪些行可以省掉？图像又会丢掉什么？ k 空间每采一行要花一个重复时间，跳行能省时间，而跳哪些行决定图像丢掉什么。每两行采一行，视野减半，两份头像叠在一起。只采中心几行，边缘和小细节会糊掉。随机跳行时，误差变成微弱的类噪声波纹，偏好小波细节少的重建方法能去掉其中一部分；在 64 行的模型里加速两倍时，误差大约减半。

头部体模在 k 空间里一行一行地被扫描。按固定间隔跳行，头像会折叠；随机跳行，再用稀疏拟合补，能找回一部分细节。

扫描时间 $2.13\,\mathrm{min}$

加速倍数（总行数 / 采集行数） $1$

图像相对完整无噪扫描的误差 $0.895\,\%$

小圆点对比度保留（相对完整扫描） $99.9\,\%$

选择采哪些行

采哪些行

每几行采一行

1

R

视野

256

\mathrm{FOV}\;(\mathrm{mm})

接收噪声相对图像平均亮度

0.01

\sigma/\bar{m}

没采的行怎么补

拖动头部，或点击 k 空间的某一行把它去掉或加回。

拟合权重、中心行数与种子

小波拟合的稀疏权重

0.008

中心始终保留的行数（随机模式）

8

选行与接收噪声的随机种子

3521

模型、单位与来源

$d_{rc}=N\,\Delta k^2\sum_j\rho_ja_jb_j\,\frac{J_1(2\pi\kappa_j)}{\kappa_j}\,e^{-i2\pi\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}_j}+\varepsilon_{rc},\qquad \kappa_j=\sqrt{(a_jk_u)^2+(b_jk_v)^2}$

每个椭圆都有精确的傅里叶变换，所以 k 空间网格取自连续体模，而不是像素图。图像是对网格做酉逆离散傅里叶变换的结果。中心以外的已采行中留出八分之一：权重曲线在不含这些行的情况下拟合，再在这些行上打分；最终图像使用全部已采行。

Lustig、Donoho 和 Pauly 按残差与噪声水平相当来选权重，并用非线性共轭梯度求解；本实验对同一目标函数改用留出行检验和加速软阈值迭代（50 步）。

MIT 6.3000 MRI handout (2025), pp. 15–21 · Lustig, Donoho and Pauly (2007)

为什么随机跳行能补救，规则跳行不能

模型假设

二维笛卡尔模型，64×64 网格，旋转参考系。体模由本课程自定的若干均匀椭圆叠加而成，因此每个 k 空间样本都是精确的解析变换，再加上带种子的复高斯噪声。每条相位编码行花一个重复时间 2 s，与 MIT 6.3000 讲义的示例相同。不含弛豫对比、线圈灵敏度、运动和偏共振。稀疏拟合对 Haar 小波细节做迭代软阈值，同时保留所有记录样本；它的权重用拟合时留出的行来检验。数值只用于教学，不代表扫描仪性能。

k 空间记录（对数亮度；粉色刻度：留出行）

重建：缺失行补零

理想参考：按像素平均的体模

用留出行选稀疏权重

更多数值与检验方法

已采行数: $0$
留出用于检验权重的行数: $0$
行间的空间频率间距: $0$
网格上的最大空间频率: $0$
像素宽度: $0$
接收噪声相对图像平均亮度: $0$
所选权重下留出行的误差: $0$
留出行误差最小的权重: $0$
相对完整扫描误差最小的权重: $0$
完整无噪扫描相对理想体模: $0$

误差是复图像差的均方根，除以同一网格上完整无噪扫描的范数。小圆点对比度是三个小圆点处的图像值减去它们之间的值，再除以完整扫描的同一量。补零永远预测不出留出行，所以它的留出行误差是 100 %。

先抓重点

核心问题: k 空间每采一行就要花一个重复时间。哪些行可以省掉？图像又会丢掉什么？
一句话直觉: 行间距 $\Delta k_y$ 决定视野 $1/\Delta k_y$ 。每两行只采一行，间距加倍，视野减半，两份头像就叠在一起。改为随机跳行，缺失的能量会散成微弱的类噪声波纹，偏好稀疏小波系数的拟合能去掉其中一部分。

核心数学模型

每个样本都看到整个头

d(k_x,k_y)=\iint\rho(x,y)\,e^{-i2\pi(k_xx+k_yy)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y,\qquad k_y=\bar\gamma\int G_y\,\mathrm{d}t

一个样本是整个头部与一层条纹的重叠，也就是舞台上画出的颜色图案。符号沿用 MIT 6.3000 讲义。

规则跳行使图像折叠

\hat m(y)=\frac{1}{R}\sum_{j=0}^{R-1}m\!\left(y+j\,\frac{\mathrm{FOV}}{R}\right)

只保留每 $R$ 行中的一行再补零，得到的是 $R$ 份按视野分数平移的副本的平均（在网格上循环卷绕）。

随机跳行时的稀疏拟合

\hat m=\arg\min_m\ \tfrac12\left\|M\mathcal{F}m-d\right\|_2^2+\lambda\left\|\Psi m\right\|_1

这是 Lustig、Donoho 和 Pauly（2007）文中的拉格朗日形式。这里 $\Psi$ 取三层 Haar 变换，权重 $\lambda$ 用拟合时留出的行来检验。

常见难点

k 空间样本不是像素

容易误解k 空间的每个点对应图像上的一个点，所以缺一行就在头像上缺一条。

正确理解每个样本都是铺满整个头部的一层条纹。去掉中心附近的行，丢的是大片亮度；去掉外围的行，丢的是边缘和小圆点。图像上不会恰好缺掉某一条。

动手实验

01
看网格被填满
从“每行都采：完整扫描”开始，同时看舞台和 k 空间记录。
你会看到： 最先采的行靠近中心，条纹很宽；越往后的行越靠外，条纹越细。最亮的样本集中在网格中心。
02
隔行采样
选择“隔行采样：头像折叠”。
你会看到： 扫描时间减半，头像上出现第二份副本，平移了半个视野，与 MIT 讲义中的例子一致。
03
随机跳行，再拟合
对比“随机跳行，缺口补零”和“随机跳行，稀疏拟合补全”，再点击 k 空间记录的某一行把它去掉或加回。
你会看到： 不再出现副本。稀疏拟合把误差大致减半，小圆点也回来了，但没有完全恢复：在这个矩阵尺寸下，跳行大约只能换来两倍的加速。

磁共振 k 空间：跳行采样、头像折叠与补全

一行一行拼出的图像

核心数学模型

每个样本都看到整个头

规则跳行使图像折叠

随机跳行时的稀疏拟合

常见难点

k 空间样本不是像素

动手实验

看网格被填满

隔行采样

随机跳行，再拟合

相关实验与文章

从进动的水到 k 空间、欠采样和扩散