采样、卷绕与分辨率：少采一行会怎样

步长决定视野，范围决定像素

离散的 k 空间样本相隔 $\Delta k$ 。对应的图像在空间上以 $1/\Delta k$ 为周期重复，所以视野 $\mathrm{FOV}=1/\Delta k$ 。视野外的水不会消失，而是被折到视野另一侧。这和第三章读出方向的折叠是同一件事，只是发生在相位编码方向。

另一方面，最外一行的空间频率 $k_{\max}$ 决定能分辨的最细条纹。 $N$ 行覆盖 $N\Delta k$ 的范围，像素宽度 $\Delta y=1/(N\Delta k)=\mathrm{FOV}/N$ 。MIT 讲义的完整重建用的是 $-128<k_x,k_y<128$ 的全部样本。

k 空间重建实验的“视野太小：卷绕”预设把视野从 256 mm 缩到 180 mm。头部体模高 230 mm，所以上下各有 25 mm 落在视野外，各自从对侧边缘折回来；体模宽 184 mm，左右两边也各折回 2 mm。

\mathrm{FOV}=\frac{1}{\Delta k},\qquad \Delta y=\frac{1}{N\Delta k}=\frac{\mathrm{FOV}}{N}

步长与视野互为倒数，采样范围与像素互为倒数。

y_{\mathrm{image}}=y-\mathrm{FOV}\cdot\operatorname{round}\!\left(\frac{y}{\mathrm{FOV}}\right)

位置在视野外的水出现在减去整数个视野后的位置。

每次激发记录 k 空间的一行：相位编码梯度选定

k_y

，读出梯度扫过

k_x

。实线是采集的行，虚线是跳过的行，对应隔行采样。行距

\Delta k=1/\mathrm{FOV}

决定视野，范围

N\Delta k

决定像素。原创示意图。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

隔行采样：两个半强度的副本

MIT 讲义提了一个问题：如果只测偶数列，图像会变成什么样？把“只留偶数行、奇数行补零”写成乘上一个因子。第 $n$ 行乘 $\tfrac12(1+e^{i\pi n})$ ：偶数行得 1，奇数行得 0。

因子 $e^{i\pi n}=e^{i2\pi k_y(\mathrm{FOV}/2)}$ 正是平移定理里把物体挪动半个视野的相位。所以补零后的图像是原图与平移半个视野的副本的平均：每份副本只有一半强度，彼此错开半个视野。视野 256 mm 时副本错开 128 mm，头顶的一半叠在头底，头底的一半叠在头顶。

Lustig 等人把这种结果称为相干混叠：等间隔欠采样并补零，得到一组平移副本的叠加，原信号与副本同样可能，无法区分。基准程序在完整无噪的数据上验证了上面的恒等式，每个像素误差不超过 $9.7\times10^{-17}$ 。

m_{R=2}(y)=\tfrac12\left[m(y)+m\!\left(y+\tfrac{\mathrm{FOV}}{2}\right)\right]

每隔

R

行采一行时，是

R

份错开

\mathrm{FOV}/R

的副本的平均。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

只采中心：图像变模糊

另一种省时间的办法是只采中心那些行。行距不变，所以视野不变，不会折叠；但 $k_{\max}$ 缩小了，相位编码方向的像素变宽。只采中心 16 行（加速 4 倍）时， $y$ 方向的分辨率从 4 mm 变成 $256/16=16\,\mathrm{mm}$ ，而读出方向仍是 4 mm。

体模底部有三个直径 8 mm 的小圆点，圆心沿 $x$ 相距 16 mm。16 mm 的竖直分辨率比圆点直径大一倍，每个圆点被上下抹开，峰值变低。实验读数显示小圆点对比度只剩完整扫描的 48.2%，图像误差 31.6%。

Lustig 等人指出，图像的大部分能量集中在 k 空间原点附近，这正是只采中心时大尺度明暗还在的原因；丢掉的高频样本携带的是边缘和细节。

\Delta y_{\mathrm{centre}}=\frac{1}{N_{\mathrm{lines}}\,\Delta k}=\frac{\mathrm{FOV}}{N_{\mathrm{lines}}}

只采中心时，像素宽度由保留下来的行数决定。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

少采行的噪声代价

下面是本课程自己的推导，用的是实验里的归一化：离散傅里叶变换取酉变换，即正反变换各除以 $\sqrt N$ 。酉变换保持总能量，所以每个 k 空间样本带有标准差为 $\sigma$ 的独立噪声时，完整扫描图像的每个像素也带标准差为 $\sigma$ 的噪声。

只采比例为 $f$ 的行并补零，噪声能量只剩 $f$ 倍，每个像素的噪声方差变成 $f\sigma^2$ 。信号怎样变化取决于采哪些行。隔行采样时每份副本只剩一半强度，噪声标准差只降到 $1/\sqrt2$ ，信噪比降为原来的 $1/\sqrt2$ 。只采中心时大块区域的亮度不变，噪声标准差减半（ $f=1/4$ ），大块区域的信噪比反而翻倍，代价是像素变成四倍高。

基准程序用 8 个随机种子检验了 $f\sigma^2$ 这条预测：补零图像的实测噪声方差与预测之比是 1.0013。

\operatorname{Var}\!\left[\tilde m(\mathbf r)\right]=f\,\sigma^2

\tilde m

是补零重建的图像。酉变换下，

f

是采集的行数占全部行数的比例。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

完整例题：180 mm 的视野

题目：在 k 空间重建实验中把视野设为 180 mm，矩阵仍是 $64\times64$ 。求 k 空间步长、像素宽度，以及头顶那 25 mm 折到哪里。

步长 $\Delta k=1/0.18\,\mathrm m=5.56\,\mathrm{m^{-1}}$ ，像素 $180/64=2.81\,\mathrm{mm}$ 。像素比 256 mm 视野时更细，扫描时间却不变，仍是 64 行、2.13 分钟。

视野覆盖 $-90$ 到 $+90\,\mathrm{mm}$ 。头顶在 $+115\,\mathrm{mm}$ ，减去一个视野后出现在 $115-180=-65\,\mathrm{mm}$ 。所以头顶 90 到 115 mm 那一段叠在图像底部 $-90$ 到 $-65\,\mathrm{mm}$ 的位置，恰好盖住 $y=-85\,\mathrm{mm}$ 处的三个小圆点。要避免卷绕，视野至少要 230 mm，此时像素是 3.59 mm。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

采样、卷绕与分辨率：少采一行会怎样

步长决定视野，范围决定像素

隔行采样：两个半强度的副本

只采中心：图像变模糊

少采行的噪声代价

完整例题：180 mm 的视野

到实验里试一试

比较两种少采方式

练习与解答

来源与复算范围