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Sandbox Physics
磁共振空间编码

L2 · 第 3 章

梯度怎样把位置变成频率

Sandbox Physics ·

只有均匀磁场时，线圈只能告诉我们样品里一共有多少水，说不出水在哪里。让磁场沿 xx 方向线性增大，每个位置的水就以自己的频率进动，就像一排音高不同的琴弦同时发声。这一章推导线圈信号与水的分布之间的关系，它正好是傅里叶变换；再由采样间隔算出视野和像素宽度，并解释梯度反向、采样太慢和衰减太快时图像会出什么问题。

梯度让磁场随位置变化

在 B0B_0 上再叠加一个梯度场，zz 方向的磁场就沿 xx 线性变化，斜率 GxG_x 的单位是 mT/m。MIT 讲义写出二维情形 Bz=B0+xGx+yGyB_z=B_0+xG_x+yG_y。这个附加场比 B0B_0 小得多：5 mT/m 的梯度在 10 cm 外只加 0.5 mT。

进动频率与磁场成正比，所以每个位置有自己的频率。扣掉所有位置共有的 γB0\gamma B_0 之后，剩下的频率偏移与位置成正比。只要量出一个信号分量的频率，就知道它来自哪里。

Δf(x)=γˉ Gx x,γˉ=γ2π=42.576 MHz/T\Delta f(x)=\bar\gamma\,G_x\,x,\qquad \bar\gamma=\frac{\gamma}{2\pi}=42.576\,\mathrm{MHz/T}
相对 f0f_0 的频率偏移。5 mT/m 时每毫米对应 212.9 Hz。
位置加梯度后的磁场较低的音较高的音
梯度让磁场、也就是进动频率沿 xx 增大。每个位置的水发出自己的音调，Δf=γˉGxx\Delta f=\bar\gamma G_x x：5 mT/m 时每毫米 212.9 Hz。原创示意图，未按比例。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

线圈信号是傅里叶变换

先介绍一点复数。把横向磁化画成平面上的箭头，用一个复数表示它：实部是 xx 分量，虚部是 yy 分量。转过角度 φ\varphi 的单位箭头写成 e−iφ=cos⁡φ−isin⁡φe^{-i\varphi}=\cos\varphi-i\sin\varphi。接收机用两路相差 90° 的通道同时测量，正好得到这个复数的实部和虚部。

位于 xx 的水在时刻 tt 的相位是频率对时间的积分。线圈把所有位置的箭头加起来，权重是该处水的密度 ρ(x)\rho(x)。扣掉共同的 γB0t\gamma B_0t 后，MIT 讲义得到下面的结果：信号与 ρ(x)\rho(x) 的傅里叶变换只差一个记号 kk。

kk 是梯度对时间的积分乘 γˉ\bar\gamma，单位是 1/m，叫空间频率。梯度打开多久、多强，决定了这一刻测到的是哪个空间频率。

s(t)=∫ρ(x) e−i2πk(t) x dx,k(t)=γˉ∫0tGx(τ) dτs(t)=\int\rho(x)\,e^{-i2\pi k(t)\,x}\,dx,\qquad k(t)=\bar\gamma\int_0^t G_x(\tau)\,d\tau
弛豫和噪声先不计。符号约定与 MIT 讲义相同。
ρ(xp)≈Δk∑nsn e+i2πknxp\rho(x_p)\approx\Delta k\sum_n s_n\,e^{+i2\pi k_n x_p}
由采样值 sn=s(kn)s_n=s(k_n) 做逆离散傅里叶求和，得到位置 xpx_p 处的水密度。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

采样决定视野和像素

实际序列先打一个反向的预散相梯度，把 kk 推到负的最大值；再打读出梯度，让 kk 匀速扫过零点到正的最大值。梯度面积回到零的那一刻所有箭头对齐，这就是梯度回波，位于读出的正中。

接收机每隔 Δt=1/BW\Delta t=1/\mathrm{BW} 采一个点，BW 是接收带宽。相邻两点相差 Δk=γˉGΔt\Delta k=\bar\gamma G\Delta t。离散傅里叶求和给出的图像以 1/Δk1/\Delta k 为周期重复，这个周期就是视野 FOV；NN 个采样点把视野分成 NN 个像素。

换一种说法：视野是带宽能容纳的距离。带宽 BW 覆盖 ±BW/2\pm\mathrm{BW}/2 的频率偏移，除以每米的频率差，就是视野。

FOV=1Δk=BWγˉG,Δx=FOVN\mathrm{FOV}=\frac{1}{\Delta k}=\frac{\mathrm{BW}}{\bar\gamma G},\qquad \Delta x=\frac{\mathrm{FOV}}{N}
梯度越强或带宽越窄，视野越小；采样点越多，像素越细。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

三种让剖面出错的方式

梯度反向：重建程序默认梯度为正，按正的 kk 排列样本。梯度若实际为负，kk 的符号全部反了，图像左右镜像，+35 mm+35\,\mathrm{mm} 处的水管出现在 −35 mm-35\,\mathrm{mm}。

采样太慢：视野外的水频率超出 ±BW/2\pm\mathrm{BW}/2，采样后与视野内某个频率无法区分，于是被搬回视野内，位置相差整数个视野。这就是折叠。

衰减太快：记录被 e−t/T2∗e^{-t/T_2^*} 加权，读出前段权重大、后段权重小。这相当于在频率上把每个点抹成宽度 1/(πT2∗)1/(\pi T_2^*) 的 Lorentz 峰，边缘变糊。频率编码实验的基准程序检验了镜像、折叠和离散点扩散函数，并验证了 Parseval 定理：样本的总能量与重建图像的总能量相等。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

完整例题：两根水管的读出

题目：梯度 G=5 mT/mG=5\,\mathrm{mT/m}，接收带宽 50 kHz，采 128 个点。一根水管中心在 −45 mm，另一根在 +35 mm。求频率偏移、视野、像素宽度和回波时刻；再把带宽降到 25 kHz，求 +70 mm 处水管在图像中的位置。这些就是频率编码实验的默认设置和“采样太慢，图像折叠”预设。

每毫米的频率差 γˉG=42.576×106×0.005 Hz/m=212.9 Hz/mm\bar\gamma G=42.576\times10^6\times0.005\,\mathrm{Hz/m}=212.9\,\mathrm{Hz/mm}。−45 mm 处的偏移为 −9.58 kHz，+35 mm 处为 +7.45 kHz，都在 ±25 kHz\pm25\,\mathrm{kHz} 之内。

视野 FOV=50 000/212.88 mm=234.9 mm\mathrm{FOV}=50\,000/212.88\,\mathrm{mm}=234.9\,\mathrm{mm}，像素 234.9/128=1.83 mm234.9/128=1.83\,\mathrm{mm}。采样间隔 20 µs，读出共 2.56 ms；预散相梯度占 1 ms，回波在激发后 1+1.28=2.28 ms1+1.28=2.28\,\mathrm{ms}。

带宽降到 25 kHz 后视野减半为 117.4 mm，只容纳 ±58.7 mm\pm58.7\,\mathrm{mm}。+70 mm 处的水频率为 14.9 kHz，超出 12.5 kHz 的上限，被搬到 70−117.4=−47.4 mm70-117.4=-47.4\,\mathrm{mm}。实验中重建图像把它放在 −47.403 mm，与折叠公式的 −47.437 mm 相差不到一个像素。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · J. Hrabe

到实验里试一试

拖动水管，听它的音高变化

  1. 在默认预设下读出“选中水管的频率偏移”，与 γˉGx\bar\gamma Gx 对照。
  2. 沿梯度拖动一根水管，看频率偏移和图像中的位置怎样同步变化。
  3. 选“采样太慢，图像折叠”预设，先用例题的方法预测右侧水管会出现在哪里，再对照重建剖面。
  4. 选“梯度反向，图像镜像”预设，确认两根水管交换了左右位置。

练习与解答

  1. 把梯度加倍到 10 mT/m，带宽和采样点数不变，视野和像素宽度变成多少？

    展开解答

    视野 50 000/(42.576×106×0.01) m=117.4 mm50\,000/(42.576\times10^6\times0.01)\,\mathrm m=117.4\,\mathrm{mm}，像素 117.4/128=0.917 mm117.4/128=0.917\,\mathrm{mm}。梯度加倍，每毫米的频率差加倍，同样的带宽只够覆盖一半距离。

  2. 梯度先以 +2 mT/m 打 1 ms，再以 −1 mT/m 打 2 ms。两段结束时 k 各是多少？回波出现在哪一刻？

    展开解答

    第一段结束时 k=42.576×106×0.002×0.001=85.15 m−1k=42.576\times10^6\times0.002\times0.001=85.15\,\mathrm{m^{-1}}；第二段每毫秒减少 42.58，2 ms 后回到 k=0k=0。回波就在 3 ms 时，梯度面积归零的那一刻。

  3. 一根水管在 +80 mm，视野 117.4 mm，它会出现在哪里？若视野是 234.9 mm 呢？

    展开解答

    视野 117.4 mm 时只容纳 ±58.7 mm\pm58.7\,\mathrm{mm}，水管被搬到 80−117.4=−37.4 mm80-117.4=-37.4\,\mathrm{mm}。视野 234.9 mm 时它在视野内，出现在 +80 mm，不折叠。

来源与复算范围

  1. MIT 6.3000 Signal Processing, Magnetic Resonance Imaging lecture handout (6 May 2025), data and examples from E. Adalsteinsson

    通读全文。第 9 页：质子旋磁比取 42.58 MHz/T。第 11—13 页：梯度场、相位积分，以及把 k 定义为梯度对时间的积分。第 15—18 页：k 空间数据、复图像及其幅值。第 19 页：256 行、每行 2 s，约 8.5 分钟。第 20—21 页：只保留 k 空间的偶数列。第 24—36 页：两个线圈展开折叠，包括灵敏度无法区分折叠像素的那一对线圈。本课程沿用讲义中傅里叶核的符号约定。

  2. J. Hrabe, G. Kaur and D. N. Guilfoyle, Principles and limitations of NMR diffusion measurements, Journal of Medical Physics 32(1), 34–42 (2007), doi:10.4103/0971-6203.31148

    在 PubMed Central 通读全文。引言：Hahn 1950 年的观察、Stejskal 与 Tanner 的脉冲梯度及式 1—3。式 4—10（二项式随机游走，式 7 定义 D，式 8 与式 10 为 Einstein 关系）。式 11（Larmor 频率，质子取 2π × 42.576 MHz/T）。式 12—14（格点游走的信号、式 13 的 b 值和离散形式的 Stejskal–Tanner 公式）与式 15—17（连续极限）。“注意事项”一节：成像梯度、局部梯度、对扩散时间的依赖和组织分区。文中引用的 1950 年和 1965 年原始论文没有打开。

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