FR35 · 磁共振

磁共振频率编码：把位置变成音高

一个线圈同时听到所有自旋。梯度场怎样告诉它每个自旋在哪里？ 在扫描仪里加一个随位置变强的磁场，一侧的质子就比另一侧进动得快，每个位置于是有了自己的频率。线圈收到的仍是一个总信号，但它恰好是水分布的傅里叶变换，做一次傅里叶求和就还原出剖面。采样有多密决定视野，采样持续多久决定像素大小。

两根水管放在梯度磁场里，各自以不同频率进动。线圈只记下它们的总和，一次傅里叶求和就把这份记录变回一条剖面。

选中水管的频率偏移 $-9.58\,\mathrm{kHz}$

视野 $235\,\mathrm{mm}$

像素宽度 $1.83\,\mathrm{mm}$

图像中选中水管的位置 $-45\,\mathrm{mm}$

选梯度，定采样

读出梯度

5

G\;(\mathrm{mT/m})

接收带宽

50

1/\Delta t\;(\mathrm{kHz})

每次读出的样本数

128

N

横向衰减时间

30

T_2^{*}\;(\mathrm{ms})

实际施加的梯度（扫描仪按正向重建）

沿梯度拖动水管，记录和图像会随之重新采集。

接收噪声

接收噪声相对总信号

0.005

接收噪声的随机种子

3501

模型、单位与来源

$s_n=e^{-t_n/T_2^{*}}\sum_j\rho_jw_j\,\mathrm{sinc}(k_nw_j)\,e^{-i2\pi k_nx_j}+\varepsilon_n,\quad m(x_p)=\Delta k\sum_n s_n\,e^{+i2\pi k_nx_p}$

每根水管是一段均匀的水，因此它的变换是精确的，取样前没有任何栅格化。回波在读出的正中，距 90° 脉冲 1 ms 加半个读出时间。时域检验对每根水管的 400 个等色团积分 Bloch 方程，与傅里叶公式的差别小于千分之一。

MIT 6.3000 MRI handout (2025), pp. 11–13 · Bloch (1946), Eqs. 38a–c

梯度怎样把位置变成频率

模型假设

一维模型，参考系以主磁场的 Larmor 频率旋转。水管视为均匀的自旋块，线圈灵敏度处处相同。理想 90° 脉冲之后，先加预散相梯度，再加读出梯度；记录的样本是这些自旋块的解析傅里叶变换，乘以单指数的 T2* 衰减，再加上带种子的复高斯噪声。图像是对这些记录样本做逆离散傅里叶求和的结果。不含化学位移、梯度非线性、涡流和人体；数值只用于教学，不代表扫描仪性能。

线圈记录下的信号

由这份记录算出的剖面

更多数值与检验方法

样本时间间隔: $0$
空间频率步长: $0$
达到的最大空间频率: $0$
读出时长: $0$
回波时间: $0$
视野两端的频率差: $0$
选中水管的真实中心: $0$
选中水管折入视野后的中心: $0$
读出结束时剩余的横向信号: $0$
接收噪声相对总信号: $0$
图像能量与样本能量之比（Parseval，应为 1）: $0$

黄色剖面只由记录样本算出。蓝色虚线是模型物体本身，从不经过重建，所以两者之差如实反映了有限采样、衰减和噪声的代价。

先抓重点

核心问题: 一个线圈同时听到所有自旋。梯度场怎样告诉它每个自旋在哪里？
一句话直觉: 梯度附加一个磁场 $Gx$ ，位于 $x$ 的自旋比参考频率快 $\bar\gamma Gx$ 赫兹。经过时间 $t$ ，它多转了 $2\pi kx$ ，其中 $k=\bar\gamma Gt$ 。于是线圈信号正是密度的傅里叶变换在这些 $k$ 上的取样，做一次逆傅里叶求和就得回剖面。

核心数学模型

整个样品的信号

s(t)=e^{-t/T_2^{*}}\int\rho(x)\,e^{-i2\pi k(t)x}\,\mathrm{d}x,\qquad k(t)=\bar\gamma\int_0^t G(\tau)\,\mathrm{d}\tau

旋转参考系，质子的 $\bar\gamma=\gamma/2\pi=42.576\,\mathrm{MHz/T}$ 。负号沿用 MIT 6.3000 讲义的约定：正梯度使相位减小。

采样决定视野和像素

\Delta k=\bar\gamma G\,\Delta t,\qquad \mathrm{FOV}=\frac{1}{\Delta k},\qquad \Delta x=\frac{\mathrm{FOV}}{N}

时间间隔为 $\Delta t$ 的样本，在空间频率上相隔 $\Delta k$ 。视野之外的物体会折回视野之内。

常见难点

梯度并不移动自旋

容易误解梯度把水推到一边，线圈再感知它去了哪里。

正确理解没有任何东西移动。梯度只改变每个自旋进动的快慢，于是它们的相位按位置散开成一把扇子。线圈测到的，是这把扇子与每个空间频率对齐的程度。

动手实验

01
看箭头散开
从“两根水管，两个音高”开始，看完舞台上一个周期。
你会看到： 预散相时箭头散开；回波时刻它们重新对齐，线圈箭头最长；之后又向另一侧散开。
02
拖动一根水管
拖动黄框水管穿过梯度。
你会看到： 它的频率偏移在中心处变号；剖面上的凸起跟着它走，直到离开视野，又从另一侧冒出来。
03
把带宽减半
选择“采样太慢，图像折叠”。
你会看到： 视野缩到 117 mm，右边那根水管出现在左边，位置恰好是真实位置减去一个视野。

磁共振频率编码：把位置变成音高

把位置写成频率

核心数学模型

整个样品的信号

采样决定视野和像素

常见难点

梯度并不移动自旋

动手实验

看箭头散开

拖动一根水管

把带宽减半

相关实验与文章

从进动的水到 k 空间、欠采样和扩散