k 空间：一行一行测出图像的傅里叶变换

两个梯度，两个空间频率

同时有 $x$、$y$ 两个梯度时，位于 $(x,y)$ 的水积累的相位是 $2\pi(k_xx+k_yy)$。MIT 讲义把线圈信号写成下面的二维积分：一个对所有位置都相同的快速振荡，乘上水密度的二维傅里叶变换。

每个样本 $(k_x,k_y)$ 测的是什么？它把水分布与一个条纹图案 $e^{i2\pi(k_xx+k_yy)}$ 比对。这些条纹垂直于矢量 $(k_x,k_y)$，相邻条纹相距 $1/|k|$。$k$ 小，条纹宽，测的是大尺度的明暗；$k$ 大，条纹细，测的是细节和边缘。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

相位编码：每次激发填一行

读出梯度沿 $x$，一次读出就扫过一整行 $k_x$。在读出之前加一个持续时间固定、强度可调的 $y$ 梯度，它的面积决定这一行的 $k_y$。读出期间不再有 $y$ 梯度，所以整行 $k_y$ 相同。这一步叫相位编码，因为它只在读出前给不同的 $y$ 位置不同的相位。

第 $m$ 行需要 $k_y=m\Delta k$，相邻两行的梯度面积相差 $\Delta k/\bar\gamma$。纵向磁化要在两次激发之间恢复，所以每行之间隔一个重复时间 $T_R$。MIT 讲义算过：256 行、每行 2 s，一共约 8.5 分钟。

Lustig 等人指出，Cartesian 采样中读出方向总是完整采集的，节省时间只能靠少采相位编码行，而且省下的时间与少采的比例完全成正比。第五、六章讨论的就是少采哪些行、怎样补。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

k 空间数据不像图像

MIT 讲义展示了一组真实的 k 空间数据：幅值要用对数标尺才看得清，几乎全部能量集中在中心附近；相位看上去杂乱无章。这些测量本身不是图像，它们是图像的傅里叶变换。Lustig 等人也写道，图像的大部分能量集中在 k 空间原点附近。

对 k 空间做逆傅里叶变换得到的图像有实部也有虚部，因为从射频激发到接收之间的信号通路会带来相位延迟。MIT 讲义因此取复图像的幅值作为最终图像。

中心样本 $s(0,0)=\iint\rho\,dx\,dy$ 就是样品里水的总量。物体平移 $\mathbf r_0$ 时，每个样本只乘上相位因子 $e^{-i2\pi\mathbf k\cdot\mathbf r_0}$，幅值不变。这叫平移定理，后面拖动体模时会用到。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

体模的精确变换

k 空间重建实验里的头部体模由 9 个均匀椭圆叠加而成，是本课程自己定义的教学体模。均匀椭圆有精确的傅里叶变换，用到一阶 Bessel 函数 $J_1$：它是圆形边界对应的“正弦”，随自变量增大而振荡衰减。因此每个 k 空间样本都直接取自连续物体，没有先画成像素再变换。

基准程序用两种独立方法检验这条公式：把 $J_1$ 与 Bessel 积分直接比较，差别 $2.2\times10^{-9}$；再把每个椭圆切成弦逐条积分，与公式相差不超过 $6.7\times10^{-10}$（以椭圆面积为单位）。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig

完整例题：一次 64 行 64 列的扫描

题目：视野 256 mm，矩阵 $64\times64$，$T_R=2\,\mathrm s$，相位编码梯度每次持续 1 ms。求 k 空间步长、最大空间频率、像素宽度、扫描时间，以及最外一行需要的相位编码梯度。这正是 k 空间重建实验的完整扫描。

步长 $\Delta k=1/0.256\,\mathrm m=3.906\,\mathrm{m^{-1}}$，最大空间频率 $k_{\max}=32\Delta k=125\,\mathrm{m^{-1}}$，像素 $256/64=4\,\mathrm{mm}$。扫描时间 $64\times2\,\mathrm s=128\,\mathrm s=2.13\,\mathrm{min}$；若像 MIT 讲义那样采 256 行，就是 8.53 分钟。

每一步的梯度面积 $\Delta k/\bar\gamma=3.906/(42.576\times10^6)=9.17\times10^{-8}\,\mathrm{T\,s/m}$。持续 1 ms 时，每一步梯度增加 0.0917 mT/m；最外一行要走 32 步，需要 2.94 mT/m。

换一个问题：MIT 讲义问，以 1 mm 分辨率拍一个 10 英寸见方的视野要测多少个 $(k_x,k_y)$。10 英寸是 254 mm，每边 254 个样本，共 $254^2=64\,516$ 个；每行 2 s 时扫描 8.47 分钟。

来源：MIT 6.3000 Signal Processing · M. Lustig