M080 · 自转遇见公转

潮汐锁定与天平动

转动细长卫星、加入耗散，跟随标记面绕行一周。比较持续旋转、来回摆动与同步自转，并用能量账本核对全过程。

相对径向线的朝向 $\text{Ready}$

惯性自转／公转角速度 $\text{Ready}$

归一化引力扭矩 $\text{Ready}$

相对机械能 $\text{Ready}$

累计耗散 $\text{Ready}$

当前能量账本残差 $\text{Ready}$

GRAVITY / GEOMETRY / MOTION

转动它，再看它如何安定。

初始径向偏角

\delta_0

55.00\,

初始自转／公转角速度

\omega_0/n

2.40\,

惯量不对称度

\eta=(B-A)/C

0.60\,

耗散系数

\gamma

0.60\,

减半积分步长

b_h

0.00\,

圆轨道，自转轴固定垂直于轨道面。时间以轨道转角计，不是秒；俯视时逆时针为正。金色斑点是材料点，虚线径向线随公转转动。卫星尺寸为便于观察而放大。

采用小尺度均匀椭球的首阶四极引力梯度扭矩；惯量不对称度决定轴比。相对公转的线性阻尼是人为选定的教学模型，并与不对称度成正比，球体时为零。不含轨道反作用、偏心率、倾角、形变、材料响应或真实捕获时间。

四阶 Runge–Kutta 积分四个公转周期，减半步长会加倍采样。能量账本属于随轨道转动的参考系，以自转惯量乘公转角速度平方归一化；相对机械能与耗散之和只存在显示的数值残差。这不是整个轨道系统的总能量。

规定圆轨道上的平面刚体引力梯度近似；采用现象学阻尼、归一化时间与放大的卫星。不计算轨道迁移、材料流变或月球捕获年限。

先抓重点

u=nt,\quad\delta=\theta-u,\quad\frac{\omega}{n}=1+\delta'

撇号表示对归一化轨道时间求导。

\delta''=-\frac32\eta\sin(2\delta)-\gamma\eta\delta',\qquad\eta=\frac{B-A}{C}

引力梯度项来自刚体四极展开；阻尼项为现象学假设。

\mathcal E=\frac12(\delta')^2+\frac34\eta[1-\cos(2\delta)],\quad Q'=\gamma\eta(\delta')^2,\quad(\mathcal E+Q)'=0

各项均以自转惯量乘公转角速度平方归一化；径向对齐时势能取零。

\frac ba=\sqrt{\frac{1-\eta}{1+\eta}},\qquad T_u=\frac{2\pi}{\sqrt{3\eta}}\quad(\gamma=0,\ |\delta|\ll1)

显示的均匀椭球采用此轴比；小幅摆动周期提供独立的数值核对。

容易误解引力会自动停止相对转动。

正确理解关闭耗散：相对机械能守恒，天体可一直旋转或摆动。