材料的记忆，怎样把潮汐循环变成热

先规定剪切实验，再引入复数

考虑一次微小的简单剪切。两面的相对横向位移除以间距，得到无量纲的工程剪应变。剪应力是单位面积上的力，单位帕。弹性元件中，应力等于剪切模量乘应变；牛顿黏性元件中，应力等于黏度乘应变率，因此黏度的单位是帕秒。

Maxwell排列把两种元件串联。它们承受相同应力，总应变则等于两份应变之和。把弹性应变求导，再加上黏性应变率，就得到下面的材料方程。特征时间是黏度除以弹性模量。载荷变化远快于这个时间时，材料来不及流动，主要表现为弹性；变化很慢时，黏性元件可以逐渐流动。

这是一种小应变、线性、单一松弛时间模型。真实卫星中的冰可能随深度改变温度和晶粒大小，并具有多种松弛机制。这个模型的好处是每一步预测都来自明确的材料定律；即使给它一个看似合理的黏度，也不等于完整描述了冰的流变。

\dot\gamma=\frac{\dot\sigma}{\mu_E}+\frac{\sigma}{\eta},\qquad \tau_M=\frac{\eta}{\mu_E}

这里采用工程剪应变；若改用应变张量分量，剪应力与该分量之间还差一个二倍因子。

把真实正弦振荡写成复振幅乘正虚指数后的实部。求时间导数，就变成乘以虚数单位和角频率。将它代入材料方程，解出应力与应变之比，再给分子分母乘以复共轭，就能把储能项与耗散项分开。

在这套约定下，被动材料的模量虚部为正。若施加余弦应变，应力里会带有负正弦项。把应力乘应变率并对一圈取平均，正余弦交叉项消失，正弦平方平均为二分之一，于是得到正的平均功率密度。

逆响应的虚部符号相反。外力给定、位移作为响应时，柔顺体的位移滞后外力，响应的虚部为负。这就是Love数图中把负虚部画成正耗散大小的原因。换一种时间指数约定，会同时翻转这些符号，但不会改变真实发热。

\mu^*(\omega)=\mu_E\frac{i\omega\tau_M}{1+i\omega\tau_M}=\mu_E\frac{x^2+i x}{1+x^2},\qquad x=\omega\tau_M

在已经规定的时间约定下，实部对应储能，正虚部对应耗散。

\left\langle\sigma\dot\gamma\right\rangle=\frac{\omega}{2}\operatorname{Im}\mu^*\,|\widehat\gamma|^2\geq0

这是单个工程剪切分量、单位体积的平均功率。

取弹性剪切模量三点五吉帕、黏度约三百一十六万亿帕秒。相除得到约九万零三百五十一秒，也就是二十五点一小时。合成天体的公转周期约十七万八千七百二十秒，即四十九点六小时，因此角频率与Maxwell时间的乘积约为三点一八。角频率不是周期的倒数，两者还差一个整圈的因子。

若工程剪应变振幅是一百万分之一，这个频率下的平均功率密度约为每立方米十七点六纳瓦。这是一个局部材料实验例子，不是整颗卫星的体积平均发热；真实潮汐应变随位置变化，还包含多个张量分量。下一章会积分相应的形变场。

现在保持弹性模量和施加应变不变，把黏度加倍。由于原先的无量纲频率已经大于一，材料会更接近弹性，损耗模量反而减小。如果初始黏度很低，同样的改动却可能增大损耗。判断黏度怎样改变发热，需要先与载荷时间尺度比较。

\tau_M=9.0351\times10^4\,\mathrm{s},\quad n=3.51565\times10^{-5}\,\mathrm{s^{-1}},\quad n\tau_M\simeq3.18

保存的默认例子采用十的十四点五次方帕秒黏度，以及声明过的合成轨道。

\mu^*=(3.18439+1.00251i)\,\mathrm{GPa},\qquad\langle q\rangle=\frac{3.51565\times10^{-5}}2(1.00251\times10^9)(10^{-6})^2=1.7622\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-3}}

先代入角频率、以帕表示的损耗模量，以及工程剪应变振幅，再将应变振幅平方，得到每立方米十七点六纳瓦。

卫星不是一块受剪切的方砖。自引力会抵抗形变，几何形状还会重新分配应变。径向Love数把表面位移与外潮汐势除以表面重力后的长度比较；重力Love数则比较诱导势与施加势。两者都无量纲，在谐波潮汐下都可以是复数。

默认冰壳的径向响应滞后约十六点九度。这一结果同时包含自引力和有限壳厚，不能只看一个自由流动元件的相位。最大整体耗散对应的黏度，也不是简单令Maxwell时间等于角频率的倒数；完整响应的分母会移动峰的位置。

2025年土卫六分析从无线电跟踪估计的是重力响应。把它进一步换成黏度，需要比这里丰富得多的内部模型。阅读时可沿着同一顺序：先认清观测响应和不确定性，再看材料与结构假设，最后才是推断的内部。

\widehat u_r(R)=h_2\frac{\widehat W(R)}{g},\qquad \widehat\Phi_{\rm induced}(R)=k_2\widehat W(R)

势的单位为平方米每平方秒，除以重力加速度后得到长度。

弹性模量与黏度	$\mu_E=3.50\,\mathrm{GPa},\quad\eta=10^{14.5}\,\mathrm{Pa\,s}$
材料松弛时间	$\tau_M=9.03508\times10^4\,\mathrm{s}$
物理公转周期与无量纲频率	$P=1.78720\times10^5\,\mathrm{s},\quad n\tau_M=3.17642$
径向响应相位滞后	$\delta=16.8764^{\circ}$