Quantum Lab 02 · 禁阻区与透射

量子隧穿实验室

经典上过不去的势垒，为什么墙后偶尔还能测到粒子？ 波进到势垒里，振幅会衰减，但不会降到零。势垒宽度有限，另一侧就还留着一点振幅。重复测很多次，总有一小部分粒子出现在墙后，这个比例很稳定。

发射一个波包，让它撞上矩形势垒，势垒比粒子能量还高。改变势垒高度、厚度和粒子能量，看振幅怎样钻进经典禁阻区并迅速衰减。独立测量做得够多，探测结果就会显出稳定的透射概率。

透射概率

T

$14.75\%$

墙后探测0

测量次数0

穿透深度

\ell_\kappa

$0.41\,L_0$

先抓重点

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)\right)\psi

势能改变波函数在空间中的变化，但有限高的势垒不会把波函数一下子截断成零。

\psi(x)\propto e^{-\kappa x},\qquad \kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}

当 $E<V_0$ 时，振幅在势垒内指数衰减，而不是振荡传播。

T=\left[1+\frac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}\right]^{-1}

能量和势垒高度不变时，增大厚度 $a$ ，透射概率会迅速下降。

容易误解隧穿来自能量—时间不确定关系，所以粒子短暂借到了越墙所需的能量。

正确理解固定势垒的定态散射里，入射波和透射波的能量相同。隧穿来自量子态在空间中的延展，能量始终守恒。

容易误解发光波形显示了粒子在墙中穿行的真实路线。

正确理解波形表示概率振幅，每一次闪光才是一次在某个位置的探测结果。实验并没有测量粒子在墙内的连续轨迹。

量子隧穿：不可能怎样变成小概率