磁转动不稳定性与角动量输运

弱磁场怎样帮助气体丢掉角动量？ 磁张力牵住转得快慢不同的气体，小扰动便可能从差分转动中取得能量，越长越大。相关的速度起伏和弯曲磁场能把角动量向外传，让内侧气体更容易向内走。

调节竖直磁场和差分转动，看局部通道怎样增长或振荡。再比较磁场与速度分别贡献的应力。

解析指数增长率 $\gamma/\Omega=0.750$

向外应力，保留正负 $T_{xy}=4.52\times10^{-6}$

扰动能量密度 $E=4.52\times10^{-6}$

局部时间 $\Omega t=1.80$

让磁张力起作用

竖直磁耦合强度

0.968

K/\Omega=kv_A/\Omega

差分转动

1.50

q=-\mathrm d\ln\Omega/\mathrm d\ln R

拖金色场强柄调节磁场，拖背景转动视角。

已显示正在增长的代表通道。

单位、小扰动与画面

\begin{gathered}L=\rho_0=\Omega=1,\\k=2\pi/L,\\v_A=B_0/\sqrt{\mu_0\rho_0}\end{gathered}

能量和应力都用密度、盒长平方与角频率平方的乘积归一化。竖直方向周期，水平方向均匀；每段演化中竖直背景场固定。

场线横向位移放大三十倍。青色箭头表示速度扰动，立体视图另用蓝色箭头表示背景剪切。箭长不表示速度大小，改变控制量会重新准备小扰动。

到达小扰动上限或时间八后停止，最后一帧保留在线性范围内。

\Delta E-W=0

模型假设

模型是随盘共转的局部直角坐标盒，求解无分层、不可压缩、理想磁流体的线性通道。径向与公转方向均匀，竖直方向周期；密度均匀，竖直背景磁场恒定。旋转角频率与盒长规定单位。浏览器用RK4推进四个正弦、余弦振幅，并从各积分阶段的应力独立累积剪切做功。水平磁扰动幅度将超过背景场百分之八，或速度幅度将超过盒长与角频率乘积的百分之五时，保留上一个状态并停止；最晚到无量纲时间八结束。增长率超过角频率十万分之一时，从解析增长模起步；其余案例从径向小速度起步。改变参数会重新准备小扰动。场线横向位移放大三十倍；青色箭头表示水平速度扰动，立体视图另用蓝色箭头表示给定背景剪切；箭长不表示速度大小。解析增长率与实际演化状态分别给出。没有分层、可压缩性、非理想磁效应、非线性湍流、饱和、全局内流或辐射光谱。另附离线复算包，直接推进竖直网格场，并保留其抽样收敛范围。

谁在向外传角动量？

速度相关磁张力

\begin{gathered}T_{\rm Re}=\rho\langle u_xu_y\rangle,\\T_{\rm Max}=-\rho\langle b_xb_y\rangle\end{gathered}

剪切能送到了哪里

动能磁能

\begin{gathered}E_K=\rho\langle u_x^2+u_y^2\rangle/2,\\E_B=\rho\langle b_x^2+b_y^2\rangle/2\end{gathered}

复算空间场，查看方程来源

下载包只用Python标准库，直接演化四个周期竖直网格场。十一组固定案例检查空间与时间细化、解析增长和应力、稳定极限、剪切做功及这个通道的磁散度，并附二百七十七帧原始空间场。

下载源码、空间场与独立检验

Balbus与Hawley，1991年线性分析，式2.2至2.14b；Stone与Gardiner，2010年局部共转盒方程

复算包求解线性空间场。原论文与第三方模拟程序另以链接提供。

核心问题: 通道增长时，哪种应力把角动量向外送？
一句话直觉: 增长扰动从差分转动中取得能量。看速度和磁场分量怎样配合，就能判断角动量传向哪里。

核心数学模型

局部转动规律

\begin{gathered}v_{0y}=-q\Omega x,\\\kappa^2=2(2-q)\Omega^2\end{gathered}

径向坐标向外，公转坐标沿旋转方向，第三方向竖直。回转频率描述轻微径向偏离后的轨道振荡；开普勒转动的剪切指数是一点五。

指数模的判据

\begin{gathered}K=kv_A,\\s^4+(\kappa^2+2K^2)s^2\\{}+K^2(K^2-2q\Omega^2)=0\end{gathered}

磁耦合频率由波数与Alfven速度相乘得到。正实根对应指数增长。固定波长后，弱耦合长得慢，强张力恢复振荡。界面中的解析增长率取自这个多项式。

保留正负的角动量输运

\begin{gathered}T_{xy}=\rho\langle u_xu_y-b_xb_y\rangle,\\b=\delta B/\sqrt{\mu_0\rho}\end{gathered}

尖括号表示沿高度平均。应力为正时向外传角动量。正弦速度和余弦磁场各自参与高度平均；磁扰动在这里已换成速度单位。

剪切供给的能量

\begin{gathered}\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=q\Omega T_{xy},\\E=\frac{\rho}{4}(u_x^2+u_y^2+b_x^2+b_y^2)\end{gathered}

能量式里的四个量是实际推进的实振幅。各积分阶段的应力另算剪切做功，再与能量变化比较。整块气体一起转时，没有差分转动来供能。

常见难点

场强要和波长一起看

容易误解磁场越强，磁转动不稳定性一定长得越快。

正确理解这里的竖直波长固定，只有一段磁耦合范围允许指数增长。若还能改变波长，再寻找最快模式，问的就是另一个问题。

停止时仍在看线性通道

容易误解最后停下来的幅度就是湍流饱和值。

正确理解计算在规定的小扰动范围边缘停止。要继续研究饱和，需要求解非线性方程，并另做数值验证。

动手实验

01
先看通道增长
从“开普勒盘最快增长”开始，比较场景下方的两条应力曲线。
你会看到： 磁场贡献为正，比速度贡献更大。这个解析模式的两者之比为三分之五。
02
改变背景磁场
上下拖动金色场强柄，再比较缓慢增长与张力恢复的预设。
你会看到： 每次改变都会重新准备小扰动，并走到相同的代表时刻。固定波长后，增长带两端的行为就能直接比较。
03
拿掉差分转动
选择“整块气体一起转”，看两条能量曲线之和。
你会看到： 磁能和动能可以互相转换，总和在积分精度内保持不变。
04
保存这段物理通道
暂停后保存，比较四个实振幅、对应的空间场和带正负号的应力。
你会看到： 导出的双精度字保留当前接受振幅。另附的离线包直接推进网格场，并检查空间收敛。

磁转动不稳定性与角动量输运

弯曲磁场怎样传递角动量

核心数学模型

局部转动规律

指数模的判据

保留正负的角动量输运

剪切供给的能量

常见难点

场强要和波长一起看

停止时仍在看线性通道

动手实验

先看通道增长

改变背景磁场

拿掉差分转动

保存这段物理通道

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