先算增长，再跟着能量检查

先修知识是前一章的局部坐标与四个实数振幅、指数增长，以及一元二次方程。本章先求增长率，再算两项应力，最后比较剪切做功和能量增加。仍取 $x$ 向外、 $y$ 沿转动方向，速度振幅乘正弦，磁振幅乘余弦；磁扰动沿用速度单位。

让时间导数变成增长率

设四个振幅都按 $e^{st}$ 随时间变化，求导就相当于乘 $s$ 。正实数 $s$ 表示指数增长。径向感应方程给出 $sb_x=Ku_x$ ，再与径向动量方程合并，得到 $2\Omega s u_y=(s^2+K^2)u_x$ 。先把绕行方向动量方程乘以增长率，再用感应方程消掉绕行方向的磁振幅；径向磁振幅也用自身的感应关系替换。对径向振幅非零的模态，接下来两步为

\begin{gathered} s(s^2+K^2)u_y=\Omega[-(2-q)s^2+qK^2]u_x,\\ (s^2+K^2)^2+\kappa^2s^2-2q\Omega^2K^2=0. \end{gathered}

第二行用到了上面的径向动量关系。展开平方，便得到

\begin{gathered} s^4+(\kappa^2+2K^2)s^2+K^2(K^2-2q\Omega^2)=0,\\ \kappa^2=2(2-q)\Omega^2. \end{gathered}

各项的单位都是时间的负四次方。消元过程除以了 $s$ ，因此中性端点还要回到原来的四条方程检查。这是Balbus与Hawley式2.5–2.9在无分层、竖直波形下的结果。原文用振荡频率表示时间变化；换成指数增长率后，相关项的符号也随之改变。

令 $y=s^2$ ，增长分支取二次方程的正根：

s^2=\frac{\sqrt{\kappa^4+16\Omega^2K^2} -(\kappa^2+2K^2)}{2}.

在满足瑞利稳定条件的 $q<2$ 范围内，指数增长要求 $q>0$ ，且 $0<K^2<2q\Omega^2$ 。耦合降到零时，正增长率也趋于零；到另一端，张力阻止这个指数分支。对区间内部的 $K^2$ 求导，可以找到

K_{\mathrm{fast}}^2=\frac{q(4-q)}4\Omega^2, \qquad s_{\max}=\frac q2\Omega.

这里寻找最大值时允许改变波长或张力频率。若把波长固定，持续减弱磁场会令 $K$ 趋于零，增长最终变慢。零指数增长率还可能对应振荡或中性模态；任意初态也可能有暂态或随时间缓慢积累的响应。

例题一把正根算到能直接检验

取开普勒剪切 $q=3/2$ 、 $\Omega=1/T_0$ 、 $K=0.6/T_0$ ，于是 $\kappa=1/T_0$ 。令 $Y=s^2T_0^2$ ，方程化成

Y^2+1.72Y-0.9504=0.

正根恰好为 $Y=0.44$ 。直接代入， $0.1936+0.7568-0.9504=0$ 。增长率为 $s=\sqrt{0.44}/T_0$ ，约 $0.663325/T_0$ 。振幅加倍所需时间是 $\ln2/s$ ，约 $1.04T_0$ ；能量与振幅平方成正比，加倍只需 $\ln2/(2s)$ ，约 $0.522T_0$ 。

保存的实空间计算把同一个连续初态放到三种网格上。得到的增长估计逐渐接近上面的连续参考：


竖直格数	增长估计，单位为局部时间的倒数	末时刻相对场误差
64	0.662936	0.00128772
128	0.663228	0.000321942
256	0.663301	0.0000804864

网格加倍，场误差约缩小到四分之一，与这些计算采用的中心空间差分相符。这里固定了时间步；另一次单独细化时间步的比较得到约十六的误差比。这些是保存的线性案例中实际测得的结果。

最快开普勒模态确定两组符号

当 $q=3/2$ ，最快张力频率为 $\sqrt{15}\Omega/4$ ，增长率为 $3\Omega/4$ 。四个振幅可写成

(u_x,u_y,b_x,b_y) =A\left(1,1,\sqrt{5/3},-\sqrt{5/3}\right).

两个速度同号，两个磁振幅反号。沿一个完整竖直波长取平均，正弦平方和余弦平方的平均值都是二分之一。向外的雷诺应力与麦克斯韦应力为

T_{\mathrm{Re}}=\frac\rho2u_xu_y, \qquad T_{\mathrm{Max}}=-\frac\rho2b_xb_y.

两项的单位都是压强，也就是动量通量。在这个模态中，它们都为正。代入振幅，得到 $T_{\mathrm{Re}}=\rho A^2/2$ 、 $T_{\mathrm{Max}}=5\rho A^2/6$ ，两项之比为 $5/3$ 。这个比例来自具体模态的结构。

从同一套方程找出能量来源

竖直平均的扰动能量密度是

E=\frac\rho4(u_x^2+u_y^2+b_x^2+b_y^2).

把每条振幅方程乘以对应振幅和 $\rho/2$ ，再相加。磁张力项在流体能量与磁能之间互相抵消；旋转项留下雷诺应力，背景剪切拉斜磁场留下麦克斯韦应力：

\frac{dE}{dt}=q\Omega \left(T_{\mathrm{Re}}+T_{\mathrm{Max}}\right).

应力的单位是每体积能量，再乘剪切率，就得到每体积功率。磁张力负责在内部交换能量，保持着的背景剪切则提供净增加。扰动能量增长与这套能量方程相容。

对最快模态， $E=4\rho A^2/3$ ，恰好等于总应力。能量按 $2s=3\Omega/2$ 的速率增长，也正好符合上面的做功关系。这还独立检查了振幅增长率与能量增长率之间的二倍关系。

保存的径向振幅与连续指数参考，以及保存场中的能量增加和积分剪切功 — 上图比较保存空间场的径向振幅与独立连续指数参考。下图把能量增加和累计剪切功都除以初始能量，两条曲线几乎重合。图中只有线性范围内的增长，没有饱和阶段。

例题二读一段实际能量记录

保存的最快案例以 $10^{-4}L_0/T_0$ 为初始振幅。初始能量约为 $1.33333\times10^{-8}\rho_0(L_0/T_0)^2$ ，到 $t=3T_0$ 时约为 $1.20023\times10^{-6}\rho_0(L_0/T_0)^2$ 。独立积分得到的剪切功约为 $1.18690\times10^{-6}\rho_0(L_0/T_0)^2$ ，与能量增加一致。

这里的 $\rho_0$ 是归一化场记录采用的参考密度。使用未舍入记录，能量与功的差再除以初始能量，约为 $2.29\times10^{-11}$ 。上面显示的圆整数不能复算这么小的残差。作图使用完整场和做功记录；功来自演化阶段应力的积分，没有用末初能量相减来定义。

刚性转动提供了很有用的对照。它的保存记录在末时刻有非零应力，但 $q=0$ ，剪切做功率为零，扰动总能量保持不变。判断从差动转动中取走多少能量，还必须同时看剪切率。

习题与解释

1．振幅按正指数增长，但图中纵轴是能量，应该使用哪个指数？ 能量含振幅平方，因此指数增长率是振幅的二倍。拟合斜率前，先确认纵轴画的是一个分量、模长还是能量。

2．固定竖直波长，把磁场任意减弱，这个波长还能一直保持最快增长吗？ 不能。固定波长的 $K=kv_A$ 随磁场趋于零，弱耦合增长率趋近 $\sqrt{q/(2-q)}K$ 。对所有波长求最大值时，波长也要随场强改变；有限周期盒只允许自身容纳的那些波长。

3．程序把无场开普勒径向推动算成了振幅持续增长，先检查哪里？ 与前一章的本轮振荡比较，检查不变量 $u_x^2+4u_y^2$ 。离散方法可能把科里奥利耦合算成虚假放大。磁耦合已经为零时，一条增长曲线还不足以说明发生了磁不稳定。

4．通道一直增长，能否用最后一帧应力预测整张盘的稳态吸积率？ 这里给出的是一个小扰动在线性阶段的局部应力。稳态盘还需要全局质量与角动量流，以及有依据的非线性传输状态。这些信息不在这段记录里。

来源

Balbus与Hawley1991，印刷页216–218，式2.2、2.5–2.9、2.13–2.14b。原始扫描件。Stone与Gardiner，arXiv:1006.0139v1，第II–III节，尤其式7–13中的剪切约定和本轮振荡检验。固定版本。数值例子取自已验收的十一组周期线性场记录及原有四十五项检查。读取和作图不增加任何演化步。

动手检验预测

比较增长、能量与剪切功

先预测开普勒剪切下，参考耦合、最快耦合和强张力三种情况怎样增长。
每组选好预设或耦合值后，若仍在播放就点“暂停”，再点“保存当前通道”。预设可能重新播放，等时比较请用各份history中共有的time。
在对齐的history记录中比较state与energy的增长，再把integratedShearWork与相对首行的能量增加比较。
解释能量指数中的二倍关系，以及局部线性应力为何不能给出整张盘的稳态吸积率。