旋转小区域里的四个实场

先修知识包括圆周运动、力、把导数看作变化率，以及正弦和余弦。前一篇已经说明磁连接为什么可能放大位移。这一章要做到三件具体的事：从空间导数写出四条振幅方程，代入一个初态检查方向，再解释为什么沿高度变化的图样可以没有竖直流速。

跟着一条圆轨道看邻近气体

选一条半径为 $R_0$ 、正角速度为 $\Omega$ 的参考圆轨道。角速度用弧度每秒表示，观察坐标系随这条轨道转动。 $x$ 向径向外侧， $y$ 沿绕行方向， $z$ 沿均匀背景磁场 $B_0>0$ 。研究区域远小于 $R_0$ ，只保留角速度沿半径变化的第一阶。定义

q=-\frac{d\ln\Omega}{d\ln R}.

$q$ 没有量纲。把邻近角速度展开到第一阶，再用 $R_0$ 乘它与坐标系角速度之差，就得到背景相对速度

\mathbf v_0=-q\Omega x\,\hat{\mathbf e}_y.

当 $q$ 为正，外侧气体落在坐标系后面，内侧气体跑在前面。开普勒转动对应 $q=3/2$ 。Stone与Gardiner固定版本第II节式7–8采用这套约定。

取密度均匀的流体，以 $\rho$ 表示密度，单位为千克每立方米。再假定它理想导电、不可压缩且没有竖直分层。扰动不随 $x$ 、 $y$ 改变，沿竖直长度 $L$ 周期重复。浮力、电阻和扰动之间的非线性乘积都不进入本章。我们研究的是局部线性通道。

把磁扰动换成速度单位

先定义

\delta\mathbf b=\frac{\delta\mathbf B}{\sqrt{\mu_0\rho}}, \qquad v_A=\frac{B_0}{\sqrt{\mu_0\rho}}.

$\mu_0$ 是SI制中的磁导率。 $\delta\mathbf b$ 和背景阿尔芬速度 $v_A$ 都用速度单位。这只是把磁场的归一化因子吸收到变量里，磁场仍然与流速有不同的物理含义。Balbus与Hawley原文采用高斯磁场单位；这样换算后，可以在SI制下写同样的耦合。

选正整数 $n$ ，令竖直波数 $k=2\pi n/L$ 。规定速度用正弦、磁扰动用余弦：

\begin{aligned} \delta\mathbf v(z,t)&=(u_x,u_y,0)\sin(kz),\\ \delta\mathbf b(z,t)&=(b_x,b_y,0)\cos(kz). \end{aligned}

此后 $u_x,u_y,b_x,b_y$ 都表示随时间变化的振幅，单位是米每秒。背景竖直场保持常数，扰动没有竖直分量。它们的散度为零：水平分量不沿水平方向变化，水平分量沿高度的导数又不进入散度。

同一保存时刻一个竖直周期内的四个水平场，速度为正弦相位，磁扰动为余弦相位 — 图取自256格最快模态计算，在三个局部时间单位时保存。横轴是高度除以盒长；上图为速度，下图为换成速度单位的磁扰动。四条曲线来自同一数值场帧。图中保留了数值场相对理想相位关系的小差异。

沿着一个空间导数检查正负号

径向动量方程中的磁张力项是 $v_A\partial_z\delta b_x$ 。由于

\begin{aligned} \partial_z\cos(kz)&=-k\sin(kz),\\ \partial_z\sin(kz)&=k\cos(kz). \end{aligned}

磁张力的振幅项带负号，为 $-kv_Ab_x$ 。感应方程中，竖直场受水平运动拉伸，出现 $v_A\partial_z\delta v_x$ ，振幅项便是正的 $kv_Au_x$ 。两种符号来自预先规定的四分之一波长相位差。

旋转坐标系还带来科里奥利项。气体向径向移动时，也跨过了背景剪切。两者合起来，在径向方程中给出 $2\Omega u_y$ ，在绕行方向方程中给出 $-(2-q)\Omega u_x$ 。背景剪切还会把径向磁扰动转成绕行方向磁扰动，对应 $-q\Omega b_x$ ：一条斜线跨过速度不同的两股流，会被继续拉斜。

定义张力频率 $K=kv_A$ ，单位为每秒。四条振幅方程就是

\begin{aligned} \dot u_x&=2\Omega u_y-Kb_x,\\ \dot u_y&=-(2-q)\Omega u_x-Kb_y,\\ \dot b_x&=Ku_x,\\ \dot b_y&=-q\Omega b_x+Ku_y. \end{aligned}

上方一点表示对时间求导，右侧每一项都是速度除以时间。这是原论文式2.2在无分层、竖直波形下的具体形式。采用这套相位后，四个实数振幅就够用了。

把一个实际保存的初态代进去

最快模态记录采用 $q=3/2$ 、 $\Omega=1/T_0$ 、 $K=\sqrt{15}/(4T_0)$ ，其初态振幅为

\begin{gathered} (u_x,u_y,b_x,b_y)=A\left(1,1,\sqrt{5/3},-\sqrt{5/3}\right),\\ A=10^{-4}L_0/T_0. \end{gathered}

记录的盒长为 $L_0$ ，密度在所选单位中取一，基本波形的 $k=2\pi/L_0$ 。背景阿尔芬速度因此为 $v_A=KL_0/(2\pi)$ 。初始磁扰动远小于这个背景量。

先算径向速度的导数：两项分别是 $2A/T_0$ 和 $-5A/(4T_0)$ ，相加得到 $3A/(4T_0)$ 。绕行速度的导数相同。再算两个磁扰动，也都等于各自振幅乘 $3/(4T_0)$ 。四个量最初按原比例一起增长。下一章会推导为什么这正是开普勒盘的最快模态。

保存到 $t=3T_0$ 时，径向速度的基本波振幅约为 $9.48817\times10^{-4}L_0/T_0$ ；独立连续指数参考约为 $9.48774\times10^{-4}L_0/T_0$ 。前者来自空间网格上的计算，后者来自解析解。图中画的是保存的实际场，保留有限分辨率带来的差异。

去掉一种耦合，再预测运动

令磁耦合 $K=0$ ，磁扰动便不再推动速度。对径向方程再求一次导数，并代入绕行方向方程，得到

\ddot u_x+\kappa^2u_x=0, \qquad \kappa^2=2(2-q)\Omega^2.

$\kappa$ 是围绕参考圆轨道的小幅本轮振荡频率。在开普勒剪切下，给出一次初始径向推动，解为 $u_x=A\cos(\Omega t)$ 、 $u_y=-A\sin(\Omega t)/2$ 。这个独立极限能检查旋转项的符号。保存的无场案例也与这段振荡比较过，稳定的运动照样清楚可见。

习题1。 水平速度随高度呈正弦变化，是否必须有竖直流速？

答。不必。高度只是标明在哪里测量水平运动。本章通道的竖直速度处处为零。检查不可压缩条件时，要对每个速度分量沿它自己的坐标方向求导。

习题2。 有人把速度和磁扰动都写成余弦，却照搬这四条实数方程，缺了什么？

答。竖直导数会把余弦变成正弦，新的空间图样已经不在这四个变量里。需要补上另一组相位，或改用前后一致的复数表示。只改相位名称，不能保留相互不合的符号。

习题3。 保留旋转但取 $q=0$ ，与直接取 $\Omega=0$ 相同吗？

答。刚性转动仍有科里奥利耦合和本轮振荡；无旋转的磁流体则只留下这里的阿尔芬耦合。两种对照回答不同的问题，保存的空间计算都包含了它们。

来源

Balbus与Hawley1991，印刷页216的式2.2a–g给出线性分量方程；216–218页的式2.5–2.9、2.13–2.14b给出色散关系和稳定性背景。原始扫描件。Stone与Gardiner，arXiv:1006.0139v1，第II节式1–8规定局部旋转坐标与磁场归一化，式11–13给出本轮振荡检验。固定版本。图中的空间场取自已有的线性周期记录，不包含新的非线性演化。

动手检验预测

在两个高度读取四个场

先预测零高度和四分之一竖直波长处，哪些速度或磁扰动为零。
通道还在播放时先点“暂停”，再点“保存当前通道”，让两个高度来自同一帧。
在physicalField中找到height为0和0.25的两行，读取radialVelocity、azimuthalVelocity、radialMagnetic、azimuthalMagnetic。
用一次竖直求导解释耦合项的符号和竖直流速为零。