中微子 · D14 · 称量看不见的粒子

β 端点质量观测台

贝塔衰变能谱末端的电子能量，怎样看出中微子质量？ 中微子有质量，电子能谱端点附近的形状就会略微改变。一台巨大的静电过滤器只放过高于设定能量的电子，一档档扫过去，就能描出这段形状。端点标定差一点，也能冒充另一个质量；结论有多可靠，取决于能谱、响应和标定模型。

逐步调节静电截止阈值，扫过贝塔能谱的末端，记下计数，再拟合中微子质量。看看驻留时间、过滤器宽度和端点标定怎样改变结果。

冻结扫描计数 $0$

拟合质量平方 $0\,\mathrm{eV}^2/c^4$

拟合端点偏移 $0\,\mathrm{eV}$

扫描贝塔能谱的末端

从能谱末端称出中微子质量

注入有效质量

m_\beta

1.2\,\mathrm{eV}/c^2

驻留时间倍数

T

4\,\times

采集透射宽度

\Delta E

1\,\mathrm{eV}

注入本底率

b

0.15\,\mathrm{s}^{-1}

注入标定偏移

注入端点偏移

\delta_{\mathrm{true}}

0\,\mathrm{eV}

重新拟合同一次扫描

分析采用的透射宽度

\Delta E_{\mathrm{fit}}

1\,\mathrm{eV}

标定中心

\delta_{\mathrm{cal}}

0\,\mathrm{eV}

端点标定不确定度

\sigma_\delta

0.1\,\mathrm{eV}

先试“标定陷阱”预设，再把标定中心移到 0.30 eV，计数不会变。

改采集设置需要重新扫描；分析控件会重新拟合现有计数。

这是参照 MAC-E 能谱测量设计的教学模拟。模型只用一个有效质量，固定电子前因子，并假设接收锥内的电子有理想响应，以此代替分子氚能谱和真实装置。对每个非负的质量平方，都重新拟合源强、正的本底和端点偏移。端点标定以高斯惩罚项进入，响应宽度固定为分析设置。偏差等高线没有标定覆盖率，不是实验给出的质量上限。这里不复现 KATRIN 的数据或灵敏度。

采样计数拟合期望重新拟合的零质量参考显示生成参考

截止扫描，不是能量直方图

每个点是一个独立的泊松计数除以驻留时间，纵轴为对数刻度。误差棒取计数的平方根，不是精确的泊松区间。点击或用方向键选择电压。

检查端点附近的相同计数

最后十电子伏特内，观测计数率减去拟合计数率。灰线是零质量期望（其余参数重新拟合）减去最佳拟合；粉线是生成参考，单独画出。

过滤器真正接收什么

归一化透射率随剩余能量的变化：蓝线用采集时的宽度，金线用分析时假定的宽度。磁接收率并入源归一化。这是理想响应，不是重建出的探测数据。

质量还可以改变多少？

对每个非负的质量平方，重新拟合源强、正的本底和端点偏移。阴影标出偏差上升不超过一的范围，高于十二的值被截掉。覆盖率没有标定，图中也不给质量上限。

追踪一个截止点

阻滞能量: $0$
距参考端点的能量: $0$
观测计数: $0$
驻留时间: $0$
拟合总率: $0$

分析面与探测器标示所选扫描点；电子路径是示意，不是采样事件。

读取条件拟合

偏差上升一的质量平方范围: $0$
源强倍数: $0$
拟合本底率: $0$
拟合端点偏移: $0$
含惩罚偏差最小值: $0$

每个扫描点的可访问计数

距端点能量（eV）、驻留秒数与拟合期望计数
能差	秒数	计数	拟合期望

约定、近似与一手来源

参考端点为 18,575 eV。能差为正，表示在端点以下；端点偏移为正，表示真实端点更高。电子从左到右依次经过源、分析面和探测器。间距、线圈、磁通线、螺旋半径和探测器分段都是示意。剖面和各个镜头看到的是同一台装置。路径只用来说明哪些电子通过、哪些被反射，没有追踪电磁场，也没有采样光学信号。

窗口很窄，电子的动量、能量和费米因子都取固定值；其余相空间只用一个有效质量。解析的相空间积分用八点角度求积，在各向同性的接收锥内取平均，源处与夹点处的磁场比为 0.6。宽度固定为参考能量处的值。模型不含分子末态、源内散射、多普勒展宽、电压抖动、辐射修正和磁场不均匀，也不区分三个不同质量，所以结果不能当作精密的 KATRIN 分析。

二十四个阈值从参考端点下方三十电子伏特排到上方四电子伏特，越靠近端点，驻留时间越长。每个阈值单独采集，不是嵌套计数。平坦本底既用来生成数据，也参与拟合，不当作已知值直接扣除。端点标定惩罚代表一项假定的外部测量。质量平方只在物理范围内扫描，从零到九平方电子伏特；不给负值估计，也不构造标定过的置信区间。

阅读 KATRIN 的故事 →缺少的能量去哪里了？ →

先抓重点

核心问题: 端点标定差一点点，会不会看起来像中微子质量变了？
一句话直觉: 统计等高线再窄，也要假定的能谱、响应和标定都对，才靠得住。

核心数学模型

端点附近的能谱形状

\frac{d\Gamma}{dE}\propto w\sqrt{w^2-m_\beta^2}\,\Theta(w-m_\beta),\qquad w=E_0-E

模型内部用自然单位。电子前因子在这个窄窗口里变化很慢，直接固定。模型不考虑分子末态，也不区分三个不同的质量。

统计阈值以上的全部电子

S(d,m_\beta^2)=\frac{1}{3}(d^2-m_\beta^2)^{3/2}\Theta(d-m_\beta)

如果截止完全锐利，相空间的这个原函数就是阈值以上的积分信号。电子方向在接收锥内各向同性，MAC-E 响应再把这个积分对剩余横向能量取平均。

每个电压下的期望计数

\mu_i=t_i[a\,R(d_i+\delta,m_\beta^2,\Delta E)+b]

每个阈值单独测量一段指定的驻留时间。源倍数、本底和端点偏移是干扰参数，和质量一起拟合；宽度固定为分析设置。

对质量做剖面扫描

D=2\sum_i\left[\mu_i-n_i+n_i\ln(n_i/\mu_i)\right]+\frac{(\delta-\delta_{\mathrm{cal}})^2}{\sigma_\delta^2}

对每个非负的质量平方，三个干扰参数都重新拟合。图中等高线标出偏差上升一的位置。它的覆盖率和在物理边界附近的表现都没有标定。

常见难点

电压点不是能段

容易误解相邻的电压点，把同一批事件切成了互不重叠的能量段。

正确理解每个电压是一次独立测量：在自己的驻留时间里统计所有超过阈值的电子，得到一个独立的泊松计数。

等高线不是发表的质量上限

容易误解阴影区间的置信覆盖率是有保证的。

正确理解这里只扫描非负的质量平方，标定惩罚也是假定的。模型没有构造标定过的置信区间，也不含真实的分子和仪器系统误差。

动手实验

01
扫描端点
选择端点，用方向键逐个查看截止点。
你会看到： 每个电压统计阈值以上的全部电子，各自的驻留时间不同。
02
看清装置
在剖面、侧视、分析面和探测器几个视角之间切换。
你会看到： 沿磁场方向能量不够的电子，在分析面被挡回；通过的电子由下游探测器计数。
03
只改分析，不改数据
不重新采集，只改分析采用的透射宽度和端点标定不确定度。
你会看到： 计数不变，变的是拟合模型和质量剖面。
04
修正标定陷阱
选择标定陷阱，再把标定中心移到 0.30 eV。
你会看到： 外部标定和数据里注入的偏移对上以后，同一份数据拟合出的质量也变了。

β 端点质量观测台

最后几电子伏特。

截止扫描，不是能量直方图

检查端点附近的相同计数

过滤器真正接收什么

质量还可以改变多少？

追踪一个截止点

读取条件拟合

从端点称量

核心数学模型

端点附近的能谱形状

统计阈值以上的全部电子

每个电压下的期望计数

对质量做剖面扫描

常见难点

电压点不是能段

等高线不是发表的质量上限

动手实验

扫描端点

看清装置

只改分析，不改数据

修正标定陷阱

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