中微子 · D15 · 寻找缺席的粒子

双 β 衰变观测台

双贝塔衰变里，两个电子总能量出现尖峰说明什么，看不到峰又说明什么？ 说明衰变没有放出中微子：两个电子带走了全部衰变能，能量之和总落在同一个值上。看不到峰时，得把同位素用量和观测时间、能量分辨率、本底和探测器响应都交代清楚，空能谱才能换成半衰期下限。

打开低温探测器阵列，采集一份能谱，在衰变的总能量处寻找假设中的信号峰。比较锗和碲，看能量分辨率、曝光和本底怎样影响搜索。

冻结能窗计数 $0$

信号均值上限 · 90% 可信 $0$

条件半衰期下界 $0\,\mathrm{yr}$

寻找无中微子双贝塔衰变

在释放能量处找峰

核素 · 元素质量曝光核素曝光

\mathcal{E}

200\,\mathrm{kg\,yr}

采集能量半高全宽

\Delta E

3\,\mathrm{keV}

注入平坦本底指数

b

0.001\,\frac{1}{\mathrm{keV\,kg\,yr}}

注入信号峰产额

s_0

0\,\frac{1}{100\,\mathrm{kg\,yr}}

换一组假设，重新分析同一份能谱

能窗半宽

w

3\,\mathrm{keV}

能窗中心偏移

\delta

0\,\mathrm{keV}

分析采用的平坦本底指数

b_{\mathrm{a}}

0.001\,\frac{1}{\mathrm{keV\,kg\,yr}}

想看本底陷阱：不重新采集，直接把分析用的本底指数调到 0.020。普通衰变模板和响应都不变。

改采集设置需要重新记录；改能窗或本底假定，仍使用已记录的能谱。

这是教学模拟，不是 LEGEND 或 CUORE 的数据。普通衰变的能谱用一条归一化的贝塔分布曲线近似，探测器响应取理想高斯，本底在测量能量上是平的；核物理和探测器细节都没有建模。90% 贝叶斯信号上限对非负信号取平坦先验，并把本底、效率和响应当作确切已知。只有本底时的中位灵敏度和观测结果分开显示。这里不给发现显著性和标定过的频率覆盖率，也不给中微子质量的数值上限。

观测计数假定本底显示生成期望

普通衰变连续谱

每千电子伏特计数，纵轴取对数。低端与高端溢出保留在表格和 CSV。

在峰附近观察

观测的一千电子伏特能段与假定的普通衰变加平坦本底；阴影为所选能窗。点击或用方向键改变中心。

还允许多少信号？

这个能窗里信号均值的归一化后验；金线是均值的 90% 可信上限。不计算发现显著性。

搜索前选择能窗

只有本底时的中位半衰期灵敏度，随能窗半宽变化；泊松中位数让曲线出现小台阶。能窗不按观测计数调优。

这份记录 · 条件推断

释放能量: $0$
能窗计数: $0$
假定本底均值: $0$
普通衰变泄漏: $0$
峰接收率: $0$
90% 可信信号均值上限: $0$
条件半衰期下界: $0$

探测器响应和普通衰变率当作已知，固定不变；平坦本底用的是假定值。改变这个假定，是看结果怎样依赖它，不是在测量本底。

无信号 · 设计灵敏度

零信号中位计数: $0$
中位半衰期灵敏度: $0$
建议半宽: $0$
注入半衰期假设: $0$

建议值只取决于本底模型和信号接收率，从显示的几个离散半宽里挑出，不是连续意义上的最优值。

全谱数据表（含溢出段）

测量能量边界（千电子伏特）、计数与假定本底期望
下界	上界	计数	本底	能窗

约定、近似与一手来源

锗模式显示一块圆柱形晶体，它既是源也是探测器；碲模式用一块通用的量热晶体。两种模式共用一套概念性的低温容器和屏蔽布局，不是照搬 LEGEND 或 CUORE。竖直坐标向上；高亮晶体里画的是局部双电子沉积的示意。路径经过放大，不用来生成能谱；没有模拟电荷、热、光、反符合或脉冲形状的输运。

释放能量取整为 2,039 和 2,528 千电子伏特。元素质量曝光按 88% 的富集率和 80% 的效率计算，摩尔质量用质量数近似。普通衰变的半衰期取示意值，依次为 20 万亿亿年和 7 万亿亿年。两个电子总能量的近似谱用归一化的对称贝塔分布表示，没有考虑库仑因子、电子质量、核结构和辐射修正。近似谱和假设峰用同一个恒定的高斯半高全宽。本底直接定义在测量能量上，从零到释放能量再加三百千电子伏特之间是平的；高斯尾部全部保留。

互不重叠的能段各自是独立的泊松计数；整数宽度的能窗读取完整的一千电子伏特能段。后验假定普通衰变的归一化、探测器响应和平坦本底都准确已知，没有对这些不确定性做边缘化。90% 上限是在显示的先验下给出的贝叶斯可信陈述，不是保证覆盖率的置信构造。换着试多个能窗只是探索，不构成发现；结果也不复现真实实验的灵敏度。

只有先假定衰变机制和核物理输入，半衰期限制才能换成质量信息；本 Lab 不把它换算成有效质量的数值。

为什么使用多种核素？ →中微子缺席意味着什么？ →

先抓重点

核心问题: 能谱里没看到峰，怎样变成半衰期的下限？
一句话直觉: 一份实测能谱给出的限制，和只有本底时预期的灵敏度，回答的是两个不同的问题。

核心数学模型

由曝光和半衰期算出信号计数

N_{\mathrm{sig}}=\frac{\ln 2}{T_{1/2}^{0\nu}}\frac{10^3N_A f}{A}\,\mathcal{E}\,\epsilon\,a_W

曝光等于元素质量（千克）乘以运行年数。富集度、效率和能窗内的信号份额各占一个因子。原子质量用质量数近似。

本底固定时的信号后验

p(s\mid n,B)\propto(s+B)^n e^{-(s+B)}\,\Theta(s)

对非负的信号计数取平坦先验，本底和响应固定不变。对后验积分，得到信号均值的 90% 可信上限。它不是发现检验。

一个计数也没有时的上限

n=0,\ B=0:\quad s_{90}=-\ln(0.1)

一个计数也没看到，信号均值仍可能为正。在这个先验下，只要观测为零，不论固定本底是多少，上限都一样。

从半衰期换算中微子质量

(T_{1/2}^{0\nu})^{-1}=G^{0\nu}g_A^4|M^{0\nu}|^2\frac{|m_{\beta\beta}|^2}{m_e^2}

这个式子假设衰变通过交换轻马约拉纳中微子发生。相空间、核矩阵元和轴矢耦合取决于核素，也取决于所用约定。换一种机制，半衰期和质量的对应关系就不同。

常见难点

可信上限依赖假设

容易误解90% 可信上限保证 90% 的频率覆盖率。

正确理解可信上限表达的是后验概率，由先验和固定本底的似然决定。模型没有标定覆盖率，也没有处理系统误差。

没看到峰不等于零质量

容易误解没有峰，就说明中微子是狄拉克粒子，或者没有质量。

正确理解没有峰只给出半衰期下限，它依赖曝光和探测器响应。要换算成质量，还得假定衰变机制，并输入核物理参数。

动手实验

01
从无信号开始
保持无信号，观察端点放大图与后验。
你会看到： 零星的随机计数证明不了这种衰变存在；在假定本底下，信号均值的上限仍然大于零。
02
只改分析，不改数据
不重新采集，只移动能窗、改变分析本底。
你会看到： 能谱不变，变的只是能窗内的计数、信号接收率和最终的限制。
03
识别假过量
选择本底陷阱，再将分析本底指数调到 0.020。
你会看到： 纠正错误的本底假定后，同样的计数得出不同的结论。
04
比较设计
选择试试碲和模糊端点，再看全谱和能窗设计曲线。
你会看到： 核素数目、普通衰变漏进能窗的计数、峰落在能窗内的比例，三者相互牵制。建议的能窗宽度按只有本底时的灵敏度选取，不按观测能谱优化。

双 β 衰变观测台

一座也许并不存在的峰

普通衰变连续谱

在峰附近观察

还允许多少信号？

搜索前选择能窗

这份记录 · 条件推断

无信号 · 设计灵敏度

读懂稀有衰变搜索

核心数学模型

由曝光和半衰期算出信号计数

本底固定时的信号后验

一个计数也没有时的上限

从半衰期换算中微子质量

常见难点

可信上限依赖假设

没看到峰不等于零质量

动手实验

从无信号开始

只改分析，不改数据

识别假过量

比较设计

相关实验与文章

贝塔衰变能谱里的中微子质量

称出质量，检验粒子本性