正常散射与第二声：热为什么会像波一样来回振荡

两种散射：守恒动量与不守恒动量

Lee 等人在讨论石墨烯中的声子流体力学时，把声子散射分成两类。正常散射在声子之间重新分配能量和动量，但总的晶体动量不变；倒逆散射、杂质散射和边界散射会改变总动量，统称电阻性散射。

只有电阻性散射能让热流衰减。正常散射很快时，声子分布迅速趋向一个整体漂移的平衡分布：各方向的声子数不再相同，而是整体朝某个方向偏，携带一定的热流。正常散射保持这份热流，只有电阻性散射能消耗它。

Lee 等人指出，要看到声子流体力学，正常散射必须远比电阻性散射频繁。对 100 K 附近的石墨烯，他们算出的正常散射率约为每秒十的十次方量级，比金刚石高约两个数量级，这正是石墨烯和石墨适合观察第二声的原因。

来源：S. Lee

两种散射率的灰体模型

沿用第四章，只看一个空间傅里叶分量 $e^{iqx}$。记 $F(\mu,t)$ 为方向余弦 $\mu$ 上的声子能量（以温度为单位），$\theta$ 是它对方向的平均，即当地温度，$J$ 是它的一阶矩，即热流除以 $Cv$。

电阻性散射以时间 $\tau_R$ 把分布拉向静止的平衡 $\theta$；正常散射以时间 $\tau_N$ 把分布拉向漂移平衡 $\theta+3\mu J$，后者携带与当前分布相同的热流，所以正常散射不改变 $J$。实验的求解器在 64 个方向上精确积分这个方程。

长周期时这个模型回到扩散，扩散率 $\alpha=v^2\tau_R/3$，只含电阻性散射时间。

来源：S. Lee · A. A. Maznev

正常散射极快时：热的阻尼波方程

对方程取零阶矩和一阶矩。零阶矩给出能量守恒：$\dot\theta=-iqvJ$。一阶矩里出现 $\mu^2$ 的平均；当正常散射极快时，分布就是漂移平衡 $\theta+3\mu J$，这个平均等于 $\theta/3$，于是 $\dot J=-iqv\theta/3-J/\tau_R$。

消去 $J$ 就得到一个阻尼振子方程，也就是电报方程。波速 $c=v/\sqrt3$。Lee 等人也写道，对三维德拜固体，第二声速度约为声速除以根号三。

初始条纹没有热流，$\dot\theta(0)=0$。当 $cq>1/(2\tau_R)$ 时解是振荡的，振幅包络按 $e^{-t/(2\tau_R)}$ 衰减，信号在半个振荡周期 $t=\pi/\omega'$ 处到达最低点并变负。

来源：S. Lee

第二声的频率窗口

Lee 等人给出第二声出现的条件：振荡频率 $\Omega$ 要高于电阻性散射率、低于正常散射率，即 $1/\tau_R<\Omega<1/\tau_N$。频率太低，热流在一个周期内就被电阻性散射耗尽，回到扩散；频率太高，正常散射来不及建立漂移平衡，声子各自飞行。

在热光栅里 $\Omega=cq=2\pi c/L$，所以窗口对应一段周期范围。还要注意一个更细的界限：电报方程要真正振荡，需要 $cq>1/(2\tau_R)$，比窗口的下限宽一倍。

灰体模型有一个必须说明的缺陷：完全不散射时，振幅按 $\sin(qvt)/(qvt)$ 变化，它也会变负，最低约为 −0.217。这是因为所有声子速度相同、同步飞行。Huberman 等人在 50 K 下把石墨的散射全部关掉做的计算里，凹陷消失了，因为真实声子速度分布很宽。所以在灰体模型里，单凭信号变负并不能证明第二声；要看它随周期和散射时间怎样变化。

来源：S. Lee · S. Huberman

完整例题：“第二声”预设

题目：实验的“第二声：条纹互换”预设取声子速度 $v=10\,\mu\mathrm m/\mathrm{ns}$、周期 $L=10\,\mu\mathrm m$、$\tau_R=5\,\mathrm{ns}$、$\tau_N=0.01\,\mathrm{ns}$。这些都是为了看清现象而设的数，不对应某种材料。求波速、振荡频率、频率窗口，以及电报方程给出的最低点时间和最低值。

波速 $c=10/\sqrt3=5.774\,\mu\mathrm m/\mathrm{ns}$，波数 $q=2\pi/10=0.6283\,\mu\mathrm m^{-1}$，$\Omega=cq=3.628\,\mathrm{ns^{-1}}$。窗口是 $0.2<\Omega<100\,\mathrm{ns^{-1}}$，$\Omega$ 落在其中。

$\omega'=\sqrt{3.628^2-0.1^2}=3.626\,\mathrm{ns^{-1}}$，最低点在 $t=\pi/\omega'=0.866\,\mathrm{ns}$，值为 $-e^{-0.1\times0.866}=-0.917$。冷热条纹几乎完全互换。

实验的 64 方向求解器保留了有限的 $\tau_N$，给出的最低值是 −0.876，出现在 0.871 ns。比电报方程浅一些，是因为 0.01 ns 的正常散射还不算无限快。

这个差别可以算出来。正常散射有限时，分布还剩一点二阶矩（$\mu^2$ 的项），它被散射以时间 $\tau$ 拉回，$1/\tau=1/\tau_N+1/\tau_R$。把这一项保留到最低阶，阻尼多出一个随 $q^2$ 增长的部分：$\gamma=1/(2\tau_R)+\tfrac{2}{15}v^2\tau q^2$。这里多出的是 $0.0525\,\mathrm{ns^{-1}}$，$\gamma=0.1525\,\mathrm{ns^{-1}}$，最低值变成 $-e^{-0.1525\times0.867}=-0.876$，与求解器一致。周期越短，这部分阻尼越重要，所以实验拟合阻尼波时也带上它。

来源：S. Lee · S. Huberman