晶体里的热由谁携带，声子能飞多远

热量由晶格振动携带

金属里自由电子是主要的热载流子；在电介质和半导体里，热主要由声子携带。Maznev 等人的论文开篇就这样写。声子是晶格振动的能量量子：一个频率为 $\omega$ 的振动模式，每个量子携带能量 $\hbar\omega$，并以群速度传播。长波声子的群速度就是声速。

温度高的地方振动更剧烈，声子更多。声子从热区飞向冷区，途中与其他声子、杂质和边界碰撞，把能量一站一站地交出去。这样一幅“粒子气体”的图景，足以解释本课程的大部分现象。

来源：A. A. Maznev

动理学公式：比热、声速和自由程

设单位体积的比热为 $C$，声子速度为 $v$，两次碰撞之间平均飞行的距离为 $\Lambda$，叫平均自由程。穿过一个截面的声子，带着大约一个自由程之外的温度；在温度梯度 $dT/dx$ 下，它们携带的能量差正比于 $C\Lambda\,dT/dx$，再乘以速度。

把所有方向平均，速度在 $x$ 方向的分量平方的平均值是 $v^2/3$，于是得到下面的动理学公式。第二章会从声子玻尔兹曼方程严格推出它，包括这个三分之一。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

硅的数字

Ioffe 研究所的半导体数据表给出 300 K 下硅的比热 0.7 J/(g K)、密度 2.329 g/cm³、热导率 1.3 W/(cm K)。比热乘密度，得到单位体积比热 $C=1.63\times10^{6}\,\mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}$。

同一数据表给出沿 [100] 方向的纵波声速 8.43 km/s 和横波声速 5.84 km/s。一个纵波支、两个横波支，按德拜模型取三者的平均（见下式），得到一个声速 $v=6351\,\mathrm{m/s}$。这个平均是我们的建模选择，不是数据表里的数。

代入动理学公式，平均自由程 $\Lambda=3\kappa/(Cv)=37.7\,\mathrm{nm}$，碰撞间隔 $\tau=\Lambda/v=5.93\,\mathrm{ps}$。作为检验，$D=\kappa/C=0.797\,\mathrm{cm^2/s}$，与数据表单独列出的 0.8 cm²/s 一致。

来源：Ioffe Institute · A. A. Maznev

一个数字不够：自由程有一个很宽的分布

Maznev 等人指出，用单一自由程描述所有声子，也就是所谓灰体近似，是一种过度简化。真实晶体里低频声子散射很弱，自由程可以比平均值长得多；无论考察多短的距离，总有一部分低频声子在这段距离上直接飞过去。

他们引用 Henry 和 Chen 的计算：室温硅中自由程超过 1 µm 的声子贡献了约 40% 的热导率。所以 37.7 nm 只是一个动理学尺度，用来估计灰体模型何时开始出问题；真实硅在微米尺度上就已经偏离傅里叶定律，第四章会看到这一点。

本课程的三个实验都采用灰体模型，因为它能把弹道、扩散和波动这几种行为单独拿出来看清楚。凡是用到灰体数值的地方，课程都会注明它们只是示意。

来源：A. A. Maznev

克努森数：飞行还是扩散

把自由程和要跨越的距离 $L$ 相比，得到克努森数 $\mathrm{Kn}=\Lambda/L$。克努森数远小于 1 时，声子在途中碰撞许多次，热按扩散方程传播；远大于 1 时，声子几乎不碰撞，从一端直接飞到另一端，叫弹道输运；接近 1 时处在两者之间。

两种时间尺度的比值正好由克努森数决定。扩散跨过 $L$ 需要约 $L^2/D$，直线飞过去需要 $L/v$。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

完整例题：热量怎样穿过 1 µm 的硅

题目：室温硅中，热量要穿过 $L=1\,\mu\mathrm m$。用上面的灰体数值，求克努森数、扩散时间、直飞时间，以及两者之比。

克努森数 $\mathrm{Kn}=37.7\,\mathrm{nm}/1000\,\mathrm{nm}=0.0377$，属于扩散区。扩散时间 $L^2/D=(10^{-6}\,\mathrm m)^2/(7.97\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s})=12.5\,\mathrm{ns}$；直飞时间 $L/v=157\,\mathrm{ps}$。

两者之比 $12.5\,\mathrm{ns}/157\,\mathrm{ps}=79.6$，正好等于 $3/\mathrm{Kn}$。在灰体图景里，1 µm 对硅来说已经足够“厚”，傅里叶定律适用。上一节说过，真实硅里还有一部分长自由程声子，它们在这个距离上并不扩散，所以这个结论对真实硅偏乐观。

来源：Ioffe Institute · A. A. Maznev