声子玻尔兹曼方程：从飞行和碰撞推出傅里叶定律

Sandbox Physics · 2026-10-30

傅里叶定律说热流与温度梯度成正比。它不是基本定律，而是声子频繁碰撞时的近似。这一章按方向给声子能量记账，写出最简单的声子玻尔兹曼方程：飞行加上一个弛豫时间的碰撞。从它出发，碰撞频繁时得到傅里叶定律和第一章的动理学公式；完全不碰撞时得到另一个上限，即两块黑体壁之间声子最多能搬运多少热。两者一比较，就知道薄到多少时傅里叶定律会出错。

按方向给声子能量记账

只看沿 $x$ 方向的一维导热。声子可以朝任何方向飞，记它的速度方向与 $x$ 轴夹角的余弦为 $\mu$ ，取值从 −1 到 1。用 $e(x,\mu,t)$ 表示单位体积中朝 $\mu$ 方向飞的声子所携带的能量，对方向平均后除以比热就是当地温度。

灰体模型里所有声子速度都是 $v$ ，于是朝 $\mu$ 方向飞的声子在 $x$ 方向的速度是 $v\mu$ 。热流是能量乘这个速度，再对方向平均。

C\,T(x,t)=\tfrac12\int_{-1}^{1}e\,d\mu,\qquad q(x,t)=\tfrac12\int_{-1}^{1}v\mu\,e\,d\mu

因子

\tfrac12

是方向余弦在 −1 到 1 上的平均权重；温度和热流都相对于一个参考温度计。

来源：A. A. Maznev

飞行加碰撞：弛豫时间近似

没有碰撞时，每个方向上的能量只是以速度 $v\mu$ 平移。碰撞把各方向的能量重新分配，使分布趋向当地平衡：平衡分布对所有方向一样，等于 $C\,T$ 。最简单的写法是让偏离平衡的部分以一个时间常数 $\tau$ 指数衰减，这就是弛豫时间近似。

平衡分布里的温度 $T$ 必须取当地的实际温度，碰撞才不会凭空产生或吞掉能量。Maznev 等人分析热光栅时也用这种单模弛豫时间近似，只不过他们让不同频率的声子有不同的 $\tau$ 。本课程用一个 $\tau$ 。

\frac{\partial e}{\partial t}+v\mu\,\frac{\partial e}{\partial x}=-\frac{e-C\,T}{\tau}

左边第二项是飞行，右边是碰撞。自由程

\Lambda=v\tau

。

来源：A. A. Maznev

碰撞频繁时：推出傅里叶定律

如果温度在一个自由程内几乎不变，分布只比平衡分布偏一点。把方程右边看作主导项，先用平衡分布代替左边的 $e$ ，并假设变化很慢、忽略时间导数，就得到一阶修正：朝温度降低方向飞的声子略多一点。

把修正后的分布代入热流的定义。各向同性的部分对热流没有贡献，只剩与 $\mu^2$ 成正比的一项；而 $\tfrac12\int_{-1}^{1}\mu^2\,d\mu=\tfrac13$ ，这就是动理学公式里三分之一的来源。

这个推导同时告诉我们傅里叶定律何时失效：当温度在一个自由程内变化明显，也就是克努森数不再很小时，一阶修正不再小，展开就不成立了。

e\approx C\,T-\tau v\mu\,C\,\frac{\partial T}{\partial x}\quad\Longrightarrow\quad q=-\frac{C v^{2}\tau}{3}\,\frac{\partial T}{\partial x}=-\kappa\,\frac{\partial T}{\partial x}

于是

\kappa=Cv^2\tau/3=Cv\Lambda/3

，与第一章的动理学公式相同。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

完全不碰撞时：黑体壁之间的弹道上限

另一个极限是没有任何碰撞。设一块薄膜夹在两块壁之间，壁吸收所有射来的声子，并按自己的温度向膜内发射声子，这样的壁叫黑体壁。热壁温度比冷壁高 $\Delta T$ 。

从热壁出发的声子只朝 $\mu>0$ 飞，携带的能量比冷壁发出的多 $C\Delta T$ 。对半个方向积分， $\tfrac12\int_0^1\mu\,d\mu=\tfrac14$ ，得到净热流 $Cv\Delta T/4$ 。这与膜厚无关，是两块黑体壁之间声子能搬运的最大热流。

Maznev 等人提到，理论工作最常用的正是这种两块黑体壁之间的平板；他们也指出，真实界面都有热阻，实验上很难造出这样的壁。第六章会讨论真实界面。

q_{B}=\frac{C v}{4}\,\Delta T

弹道极限。气体动理学里的同一个四分之一也出现在分子撞壁的通量中。

来源：A. A. Maznev · Ioffe Institute

完整例题：傅里叶定律什么时候要得太多

题目：用第一章的硅灰体数值（ $C=1.63\times10^{6}\,\mathrm{J\,m^{-3}\,K^{-1}}$ ， $v=6351\,\mathrm{m/s}$ ， $\tau=5.93\,\mathrm{ps}$ ），先检查热导率公式，再比较 40 nm 硅膜两侧温差 1 K 时傅里叶定律给出的热流和弹道上限。

热导率 $Cv^2\tau/3=130\,\mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}$ ，与数据表的 1.3 W/(cm K) 一致，这是自洽检查，因为 $\tau$ 本来就是由它反推的。

傅里叶定律给出 $\kappa\,\Delta T/L=130/(40\times10^{-9})=3250\,\mathrm{MW/m^2}$ ；弹道上限只有 $Cv\Delta T/4=2589\,\mathrm{MW/m^2}$ 。傅里叶定律要求的热流比声子一次碰撞都不发生时还多，这不可能。

两者相等的厚度是 $L=4\kappa/(Cv)=4\Lambda/3=50.2\,\mathrm{nm}$ 。比这更薄，傅里叶定律必然高估；就算厚一些，它也会高估，因为真实热流同时受膜内扩散和壁附近弹道的限制。第三章会精确算出这个高估有多大。

来源：Ioffe Institute · A. A. Maznev

到实验里试一试

看冷壁热流逼近弹道上限

选“很薄：声子直接飞过”预设（8 nm）。“此刻冷壁流出的热量 / 弹道极限”从零开始上升，记下它最后稳定在多少。
读出稳态薄膜热导率与体材料之比。用 $\kappa_{\mathrm{eff}}/\kappa=\Psi\cdot3/(4\,\mathrm{Kn})$ 把它换算回冷壁热流与弹道上限之比 $\Psi$ ，与上一步的读数比较。

练习与解答

计算 $\tfrac12\int_{-1}^{1}\mu^2\,d\mu$ 和 $\tfrac12\int_0^1\mu\,d\mu$ ，并说明它们分别出现在哪个结果里。

展开解答

前者等于 $\tfrac13$ ，给出动理学公式 $\kappa=Cv\Lambda/3$ 中的三分之一；后者等于 $\tfrac14$ ，给出弹道上限 $Cv\Delta T/4$ 中的四分之一。

100 nm 的硅膜两侧温差 1 K。傅里叶定律给出的热流是多少？它是弹道上限的几分之几？

展开解答

$\kappa\,\Delta T/L=1300\,\mathrm{MW/m^2}$ ，是弹道上限 2589 MW/m² 的 $0.502$ ，等于 $4\,\mathrm{Kn}/3$ 。这时傅里叶定律没有超过上限，但第三章会看到它仍然高估。

硅膜多薄时，傅里叶定律给出的热流是弹道上限的两倍？

展开解答

令 $\kappa/L=2\cdot Cv/4$ ，得 $L=2\kappa/(Cv)=2\Lambda/3=25.1\,\mathrm{nm}$ 。

“很薄”预设的克努森数是 4.71，实验中稳态薄膜热导率与体材料之比为 0.134。冷壁热流是弹道上限的多少？

展开解答

$\Psi=0.134\times4\times4.71/3=0.842$ 。膜只有自由程的五分之一厚，热流已经接近弹道上限，而傅里叶定律会给出上限的 6.28 倍。

来源与复算范围

Ioffe Institute, NSM Archive: Thermal properties of Silicon (Si) and Mechanical properties, elastic constants, lattice vibrations of Silicon (Si)

两页都通读过（力学页在同一目录的 mechanic.html）。用到的 300 K 数值：比热 0.7 J/(g K)、热导率 1.3 W/(cm K)、热扩散率 0.8 cm²/s、密度 2.329 g/cm³，以及沿 [100] 方向的声速 8.43 km/s（纵波）和 5.84 km/s（横波）。课程把两个声速合成一个德拜平均声速，这一步是我们自己做的，不是页面给出的数值。

A. A. Maznev, J. A. Johnson and K. A. Nelson, Onset of nondiffusive phonon transport in transient thermal grating decay, Physical Review B 84, 195206 (2011), arXiv:1108.3770v2

通读全文（arXiv 第 2 版）。引言部分：动理学理论给出的几十纳米平均自由程、把灰体近似称为过度简化、理论上常用的两块黑体壁之间的平板、由泵浦光交叉角决定的光栅周期，以及硅在 1 到 10 µm 周期下约 0.3 到 30 ns 的光栅衰减时间。摘要指出，硅的有效热导率在周期大到 10 µm 时仍有明显下降。课程没有引用这篇论文的公式编号。