瞬态热光栅：用干涉条纹测量热扩散

用两束光画出冷热条纹

两束波长为 $\lambda$ 的泵浦光以夹角 $\theta$ 交叉，在样品表面形成正弦形的干涉条纹。Maznev 等人给出它的周期（见下式）。样品吸收光后，亮纹处升温、暗纹处不升温，于是得到一个沿表面按 $\cos(qx)$ 变化的温度分布，$q=2\pi/L$。

Huberman 等人测石墨时用 515 nm 的脉冲泵浦，用 532 nm 的连续光探测。温度条纹通过热膨胀让表面起伏，起伏像一个反射光栅，使探测光发生衍射。衍射光与一束参考光叠加，这种外差探测给出的信号正比于表面起伏的振幅 $u(t)$，而且保留符号：条纹的冷热位置互换时，信号变负。

石墨的面外热导率约为面内的三百分之一，所以在条纹被抹平之前，热量几乎只沿表面传播。表面起伏正比于温升沿深度的积分，测到的信号只反映面内的一维导热。

来源：A. A. Maznev · S. Huberman

扩散让正弦条纹按指数衰减

把 $T=\theta(t)\cos(qx)$ 代入一维扩散方程。余弦的二阶导数等于它自身乘以 $-q^2$，所以条纹形状不变，只有振幅衰减，满足一个一阶常微分方程。

这正是热光栅的好处：正弦条纹是扩散方程的本征解，不需要知道加热区的边界，也不需要解空间分布，一个时间常数就概括了全部信息。Huberman 等人写出的时间常数与下式相同。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

周期变短时，衰减比扩散慢

Huberman 等人在 300 K 下测了 3.7 到 37.5 µm 的周期。长周期给出的扩散率是 11 cm²/s；周期变短时，表观扩散率 $L^2/(4\pi^2\tau_d)$ 不再是常数，衰减比扩散方程预言的慢，而衰减曲线仍然是指数形。他们把这解释为尺寸效应：携带热量的声子的自由程已经可以和条纹周期相比。

Maznev 等人从理论上解释了为什么会变慢。长自由程的低频声子从热条纹直接飞进冷条纹，越过了好几个条纹，热量在空间上被抹平的方式不再是扩散；按他们的分析，这些声子对条纹衰减的贡献被压低了。他们算出，对室温硅来说，这种有效热导率的下降在周期大到 10 µm 时仍然明显。

灰体模型给出一个极端情形：完全不散射时，振幅按 $\sin(qvt)/(qvt)$ 变化，衰减时间与周期成正比，而不是与周期的平方成正比。实验中的“自由飞行”预设就是这种情形。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

拟合与留出检验

实验中的每条记录都是模型曲线加上带种子的高斯噪声。对它做指数拟合，得到衰减速率和标准误差，再换算成表观扩散率。Huberman 等人的做法类似：从信号衰减到最大值 80% 的时刻开始拟合原始数据。

实验同时扫描七个周期。其中五个用来拟合两个候选模型：所有周期共用一个扩散率的傅里叶模型，以及下一章的阻尼波模型；另外两个周期留出不用。模型只有在能把留出的记录预测到噪声水平以内时，才算解释了数据。留出检验比“拟合得好”更严格，因为参数越多的模型越容易把训练数据拟合好。阻尼很强的阻尼波就是扩散，所以阻尼波通过检验本身不说明有第二声；实验还会数出拟合的波在几个扫描周期上真的摆到零以下。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev

完整例题：石墨和硅的时间尺度

题目：Huberman 等人用 515 nm 泵浦，在 300 K 下测得周期 37.5 µm 时石墨的扩散率为 11 cm²/s。求这个周期对应的交叉角和衰减时间；再求周期 3.7 µm 时的交叉角，以及傅里叶定律预言的衰减时间。最后对灰体硅（$D=0.797\,\mathrm{cm^2/s}$）算 1 µm 和 10 µm 周期的衰减时间。

37.5 µm：$\sin(\theta/2)=0.515/(2\times37.5)$，$\theta=0.787^\circ$。衰减时间 $\tau_d=(37.5\,\mu\mathrm m)^2/(4\pi^2\times11\,\mathrm{cm^2/s})=32.4\,\mathrm{ns}$。

3.7 µm：$\theta=7.98^\circ$，傅里叶定律预言 $\tau_d=0.315\,\mathrm{ns}$。周期缩短约十倍，时间缩短约百倍。实测的衰减更慢，所以表观扩散率低于 11 cm²/s。

灰体硅：1 µm 时 $\tau_d=0.318\,\mathrm{ns}$，10 µm 时 $31.8\,\mathrm{ns}$。这与 Maznev 等人给出的“1 到 10 µm 周期对应约 0.3 到 30 ns”一致。

来源：S. Huberman · A. A. Maznev · Ioffe Institute